円周上に4点A, B, C, Dがあり、線分ACとBDの交点をPとする。AB = CBであるとき、$\triangle BCP \sim \triangle BDC$となることを証明する穴埋め問題である。

1. 問題の内容

円周上に4点A, B, C, Dがあり、線分ACとBDの交点をPとする。AB = CBであるとき、$\triangle BCP \sim \triangle BDC$となることを証明する穴埋め問題である。

2. 解き方の手順

まず、(i)について考える。$\triangle BCP$と$\triangle BDC$において、共通な角は$\angle PBC$であるから、$\angle PBC = \angle DBC$である。よって、スにはDBCが入る。選択肢から5を選ぶ。

次に、(ii)について考える。AB = CBより、$\triangle ABC$は二等辺三角形である。二等辺三角形の底角は等しいから、$\angle BAC = \angle BCA$である。よって、セにはBCAが入る。選択肢にBCAはないため、まずBCを弦として考えられる円周角を探す。$\angle BAC$と$\angle BCA$はBCを挟んでいるため円周角ではない。BAを弦として考えられる円周角として$\angle BCA=\angle BDA$が見つけられる。したがって、$\angle BAC=\angle BDA$と書くことができ、セにはBDAが入る。選択肢にはBDAがないため、適するものは存在しない。

次に、(iii)について考える。BCに対する円周角は等しいから、$\angle BAC = \angle BDC$である。よって、ソにはBDCが入る。選択肢から3を選ぶ。

最後に、(iv)について考える。(ii), (iii)より$\angle BAC = \angle BCA = \angle BDC$である。したがって$\angle セ = \angle ソ$なので、$\angle BCA=\angle BDC$となる。

(i), (iv)より、2組の角がそれぞれ等しいから$\triangle BCP \sim \triangle BDC$である。

(i)より、$\angle PBC = \angle DBC$である。

(iv)より、$\angle BCP = \angle BDC$である。

3. 最終的な答え

ス: 5

セ: (選択肢に適切なものなし)

ソ: 3