与えられた3つの極限を求める問題です。ここで、$[x]$はガウス記号を表し、$x$を超えない最大の整数を表します。 (1) $\lim_{x \to 2} [x]$ (2) $\lim_{x \to 1} (2x - [x])$ (3) $\lim_{x \to 1} ([2x] - [x])$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限を求める問題です。ここで、$[x]$はガウス記号を表し、$x$を超えない最大の整数を表します。

(1) $\lim_{x \to 2} [x]$

(2) $\lim_{x \to 1} (2x - [x])$

(3) $\lim_{x \to 1} ([2x] - [x])$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 2} [x]$ について:

$x$が2に近づくとき、$[x]$の値も2に近づきます。$x$が2より小さい値から近づく場合も、2より大きい値から近づく場合も、$[x]$は2に近づきます。

したがって、$\lim_{x \to 2} [x] = 2$.

(2) $\lim_{x \to 1} (2x - [x])$ について:

$x$が1に近づくとき、$2x$は2に近づきます。$x$が1に近いとき、$[x]$の値は1になります。

したがって、$\lim_{x \to 1} (2x - [x]) = 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1$.

(3) $\lim_{x \to 1} ([2x] - [x])$ について:

$x$が1に近づくとき、$2x$は2に近づきます。

左極限：$x$が1より小さい側から1に近づくとき、$x = 1 - \epsilon$（ただし、$\epsilon > 0$ で $\epsilon \to 0$）。

このとき、$2x = 2 - 2\epsilon$, $[2x] = 1$, $[x] = 0$. よって、$[2x] - [x] = 1 - 0 = 1$.

右極限：$x$が1より大きい側から1に近づくとき、$x = 1 + \epsilon$（ただし、$\epsilon > 0$ で $\epsilon \to 0$）。

このとき、$2x = 2 + 2\epsilon$, $[2x] = 2$, $[x] = 1$. よって、$[2x] - [x] = 2 - 1 = 1$.

したがって、$\lim_{x \to 1} ([2x] - [x]) = 1$.

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 2} [x] = 2$

(2) $\lim_{x \to 1} (2x - [x]) = 1$

(3) $\lim_{x \to 1} ([2x] - [x]) = 1$