与えられた級数 $S$ の和を求めます。 $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{n(n+2)}$

1. 問題の内容

与えられた級数 $S$ の和を求めます。

$S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{n(n+2)}$

2. 解き方の手順

この級数を計算するために、各項を部分分数に分解します。一般項 $\frac{1}{k(k+2)}$ は次のように分解できます。

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}$

両辺に $k(k+2)$ を掛けると、

$1 = A(k+2) + Bk$

$1 = (A+B)k + 2A$

この式から、以下の連立方程式が得られます。

$A+B = 0$

$2A = 1$

したがって、$A = \frac{1}{2}$ であり、$B = -A = -\frac{1}{2}$ となります。

したがって、

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$

この結果を使って、級数 $S$ を書き換えると、

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right) + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) \right]$

この級数はtelescoping series(隣り合う項で打ち消しあう級数)なので、多くの項が打ち消しあいます。

$S = \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right]$

$S = \frac{1}{2} \left[ \frac{3}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right]$

$S = \frac{1}{2} \left[ \frac{3(n+1)(n+2) - 2(n+2) - 2(n+1)}{2(n+1)(n+2)} \right]$

$S = \frac{1}{4} \left[ \frac{3(n^2+3n+2) - 2n - 4 - 2n - 2}{(n+1)(n+2)} \right]$

$S = \frac{1}{4} \left[ \frac{3n^2 + 9n + 6 - 4n - 6}{(n+1)(n+2)} \right]$

$S = \frac{1}{4} \left[ \frac{3n^2 + 5n}{(n+1)(n+2)} \right]$

$S = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$