## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

与えられた画像には3つの問題があります。ここでは、2番目の問題について解きます。2番目の問題は、二重積分に関するものです。

与えられた積分は $\int_{0}^{1} \int_{y}^{\sqrt{y}} f(x,y) dx dy$ です。

この積分に関して以下の3つの問いに答えます。

(1) 積分領域を図示せよ。

(2) 積分の順序を変更して積分式を表せ。

(3) $f(x, y) = x^2 + y$ のとき、上記の積分を求めよ。

##

2. 解き方の手順

### (1) 積分領域の図示

積分範囲から、積分領域は以下の不等式で表されます。

$0 \le y \le 1$

$y \le x \le \sqrt{y}$

まず、$x = y$ と $x = \sqrt{y}$ のグラフを描きます。$x = y$ は直線、$x = \sqrt{y}$ は $y = x^2$ となります。

$0 \le y \le 1$なので、$0 \le x \le 1$となります。

積分領域は、$y = x$ と $y = x^2$ で囲まれた、$0 \le x \le 1$の部分です。

### (2) 積分の順序の変更

積分の順序を $dxdy$ から $dydx$ に変更します。

まず、積分領域を $x$ で固定して、$y$ の範囲を求めます。

$x^2 \le y \le x$

$x$ の範囲は、$0 \le x \le 1$です。

したがって、積分の順序を変更した積分式は以下のようになります。

$\int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} f(x,y) dy dx$

### (3) 積分の計算 ($f(x, y) = x^2 + y$)

$f(x, y) = x^2 + y$ のとき、上記の積分を計算します。

まず、内側の積分を計算します。

$\int_{x^2}^{x} (x^2 + y) dy = [x^2y + \frac{1}{2}y^2]_{x^2}^{x} = x^3 + \frac{1}{2}x^2 - (x^4 + \frac{1}{2}x^4) = x^3 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x^4$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (x^3 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x^4) dx = [\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{6}x^3 - \frac{3}{10}x^5]_{0}^{1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{3}{10} = \frac{15 + 10 - 18}{60} = \frac{7}{60}$

##

3. 最終的な答え

(1) 積分領域の図示：$y=x$と$y=x^2$で囲まれた、$0 \le x \le 1$の領域。

(2) 積分の順序を変更した積分式：$\int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} f(x,y) dy dx$

(3) $f(x, y) = x^2 + y$ のときの積分：$\frac{7}{60}$