点 $P(0,0,2)$ と点 $Q(1,2,3)$ を結ぶ経路 $C$ について、線積分 $\int_C (\frac{2x}{y}+z) ds$ を求めよ。ただし、経路 $C$ は特に指定されていないため、ここでは $P$ から $Q$ への直線経路であると仮定する。

1. 問題の内容

点 $P(0,0,2)$ と点 $Q(1,2,3)$ を結ぶ経路 $C$ について、線積分 $\int_C (\frac{2x}{y}+z) ds$ を求めよ。ただし、経路 $C$ は特に指定されていないため、ここでは $P$ から $Q$ への直線経路であると仮定する。

2. 解き方の手順

まず、経路 $C$ をパラメータ表示する。$P(0,0,2)$ から $Q(1,2,3)$ への直線経路は、パラメータ $t$ ($0 \le t \le 1$) を用いて次のように表せる。

$r(t) = (1-t)P + tQ = (1-t)(0,0,2) + t(1,2,3) = (t, 2t, 2+t)$

よって、$x = t$, $y = 2t$, $z = 2+t$ となる。

次に、$ds$ を $dt$ で表す。

$r'(t) = (1, 2, 1)$

$|r'(t)| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$

したがって、$ds = |r'(t)| dt = \sqrt{6} dt$

次に、積分する関数 $\frac{2x}{y} + z$ を $t$ で表す。

$\frac{2x}{y} + z = \frac{2t}{2t} + (2+t) = 1 + 2 + t = 3+t$

最後に、線積分を計算する。

$\int_C (\frac{2x}{y}+z) ds = \int_0^1 (3+t) \sqrt{6} dt = \sqrt{6} \int_0^1 (3+t) dt = \sqrt{6} [3t + \frac{1}{2}t^2]_0^1 = \sqrt{6} (3 + \frac{1}{2}) = \frac{7\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7\sqrt{6}}{2}$