3つの問題があります。 (34) 複素数 $z = 2 - 4i$ を原点を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転した点を表す複素数 $w$ を求めます。 (35) $(\sqrt{3} - i)^6$ を計算します。 (36) 方程式 $z^3 = 8i$ を解きます。

1. 問題の内容

3つの問題があります。

(34) 複素数 $z = 2 - 4i$ を原点を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転した点を表す複素数 $w$ を求めます。

(35) $(\sqrt{3} - i)^6$ を計算します。

(36) 方程式 $z^3 = 8i$ を解きます。

2. 解き方の手順

(34)

複素数 $z$ を原点を中心に $\theta$ 回転させることは、$z$ に $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ を掛けることに相当します。

今回は $\theta = \frac{\pi}{6}$ なので、

$w = z e^{i \frac{\pi}{6}} = z (\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) = (2-4i)(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)$

$= 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) - 4i(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2(\frac{1}{2}i) - 4i(\frac{1}{2}i)$

$= \sqrt{3} - 2\sqrt{3}i + i + 2 = (\sqrt{3} + 2) + (1 - 2\sqrt{3})i$

(35)

$(\sqrt{3} - i)$ を極形式で表すと、

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = 2$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \theta = -\frac{1}{2}$より、$\theta = -\frac{\pi}{6}$

したがって、$\sqrt{3} - i = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6})) = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$

$(\sqrt{3} - i)^6 = (2e^{-i\frac{\pi}{6}})^6 = 2^6 e^{-i\pi} = 64(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi)) = 64(-1 + 0i) = -64$

(36)

$z^3 = 8i$ を解きます。

$8i$ を極形式で表すと、

$8i = 8(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$

したがって、$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ とすると、

$z^3 = r^3 (\cos(3\theta) + i \sin(3\theta)) = 8(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$

したがって、$r^3 = 8$ より、$r = 2$

$3\theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$ は整数)

$\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2n\pi}{3}$

$n=0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}$

$n=1$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 4\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

$n=2$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi + 8\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$

したがって、

$z_1 = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = \sqrt{3} + i$

$z_2 = 2(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = -\sqrt{3} + i$

$z_3 = 2(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}) = 2(0 - i) = -2i$

3. 最終的な答え

(34) $w = (\sqrt{3} + 2) + (1 - 2\sqrt{3})i$

(35) $(\sqrt{3} - i)^6 = -64$

(36) $z = \sqrt{3} + i$, $-\sqrt{3} + i$, $-2i$