全体集合 $U = \{x \mid 0 \le x \le 10\}$、集合 $A = \{x \mid 3 \le x \le 6\}$、集合 $B = \{x \mid 0 \le x < 5\}$ が与えられている。 (1) $\overline{B}$、(2) $A \cup \overline{B}$、(3) $\overline{A \cap B}$ を求める。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x \mid 0 \le x \le 10\}$、集合 $A = \{x \mid 3 \le x \le 6\}$、集合 $B = \{x \mid 0 \le x < 5\}$ が与えられている。

(1) $\overline{B}$、(2) $A \cup \overline{B}$、(3) $\overline{A \cap B}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\overline{B}$ は $U$ における $B$ の補集合なので、$0 \le x \le 10$ かつ $x \ge 5$ であるような $x$ の集合となる。

(2) $A \cup \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の和集合なので、$3 \le x \le 6$ または $5 \le x \le 10$ であるような $x$ の集合となる。

(3) $\overline{A \cap B}$ は、$A \cap B$ の補集合なので、まず $A \cap B$ を求める。$A \cap B$ は、$A$ と $B$ の共通部分なので、$3 \le x < 5$ であるような $x$ の集合となる。したがって、$\overline{A \cap B}$ は、$0 \le x \le 10$ かつ $x < 3$ または $x \ge 5$ であるような $x$ の集合となる。

(1) $\overline{B} = \{ x \mid 5 \le x \le 10 \}$

(2) $A \cup \overline{B} = \{ x \mid 3 \le x \le 6 \} \cup \{ x \mid 5 \le x \le 10 \} = \{ x \mid 3 \le x \le 10 \}$

(3) $A \cap B = \{ x \mid 3 \le x \le 6 \} \cap \{ x \mid 0 \le x < 5 \} = \{ x \mid 3 \le x < 5 \}$

$\overline{A \cap B} = \{ x \mid 0 \le x < 3 \} \cup \{ x \mid 5 \le x \le 10 \}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B} = \{ x \mid 5 \le x \le 10 \}$

(2) $A \cup \overline{B} = \{ x \mid 3 \le x \le 10 \}$

(3) $\overline{A \cap B} = \{ x \mid 0 \le x < 3, 5 \le x \le 10 \}$