ベクトル $\vec{a} = (9, 3)$, $\vec{b} = (-1, -2)$ が与えられ、$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ とする。$\lvert \vec{c} \rvert$ の最小値と、そのときの $t$ の値を求める。ただし、$t$ は実数とする。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (9, 3)$, $\vec{b} = (-1, -2)$ が与えられ、$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ とする。$\lvert \vec{c} \rvert$ の最小値と、そのときの $t$ の値を求める。ただし、$t$ は実数とする。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{c}$ を $t$ を用いて表す。

$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b} = (9, 3) + t(-1, -2) = (9 - t, 3 - 2t)$.

次に、$\lvert \vec{c} \rvert^2$ を計算する。

$\lvert \vec{c} \rvert^2 = (9 - t)^2 + (3 - 2t)^2 = 81 - 18t + t^2 + 9 - 12t + 4t^2 = 5t^2 - 30t + 90$.

$\lvert \vec{c} \rvert^2$ を最小にする $t$ を求めるため、平方完成する。

$5t^2 - 30t + 90 = 5(t^2 - 6t) + 90 = 5(t^2 - 6t + 9 - 9) + 90 = 5(t - 3)^2 - 45 + 90 = 5(t - 3)^2 + 45$.

$\lvert \vec{c} \rvert^2$ は $t = 3$ のとき最小値 $45$ をとる。

したがって、$\lvert \vec{c} \rvert$ の最小値は $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

3. 最終的な答え

$\lvert \vec{c} \rvert$ の最小値は $3\sqrt{5}$ であり、$t = 3$ のときである。