問題は三角関数の値を求める問題と、三角関数の合成に関する問題の2つです。 問題3では、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$、$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ であり、$sin\alpha = \frac{2}{3}$、$cos\beta = -\frac{2}{7}$であるとき、以下の値を求めます。 (1) $sin(\alpha + \beta)$ (2) $tan2\alpha$ 問題4では、$y = \sqrt{3}sinx + cosx (0 \le x < 2\pi)$を合成し、その最大値と最小値をとる$x$の値を求めます。

## 問題の回答

1. 問題の内容

問題は三角関数の値を求める問題と、三角関数の合成に関する問題の2つです。

問題3では、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$、$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ であり、$sin\alpha = \frac{2}{3}$、$cos\beta = -\frac{2}{7}$であるとき、以下の値を求めます。

(1) $sin(\alpha + \beta)$

(2) $tan2\alpha$

問題4では、$y = \sqrt{3}sinx + cosx (0 \le x < 2\pi)$を合成し、その最大値と最小値をとる$x$の値を求めます。

2. 解き方の手順

問題3

(1) $sin(\alpha + \beta)$を求めます。

$sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$の公式を使います。

$cos\alpha$と$sin\beta$を求める必要があります。

$sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$より、$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$なので、$cos\alpha > 0$。したがって、$cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$sin^2\beta + cos^2\beta = 1$より、$sin^2\beta = 1 - cos^2\beta = 1 - (-\frac{2}{7})^2 = 1 - \frac{4}{49} = \frac{45}{49}$

$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$なので、$sin\beta > 0$。したがって、$sin\beta = \frac{\sqrt{45}}{7} = \frac{3\sqrt{5}}{7}$

$sin(\alpha + \beta) = \frac{2}{3} \cdot (-\frac{2}{7}) + \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3\sqrt{5}}{7} = -\frac{4}{21} + \frac{15}{21} = \frac{11}{21}$

(2) $tan2\alpha$を求めます。

$tan2\alpha = \frac{2tan\alpha}{1 - tan^2\alpha}$の公式を使います。

$tan\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{2/3}{\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$tan2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}}{1 - (\frac{2}{\sqrt{5}})^2} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{5}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5}$

問題4

$y = \sqrt{3}sinx + cosx$を合成します。

$y = Rsin(x + \phi)$の形に変形します。$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$y = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}sinx + \frac{1}{2}cosx)$

$cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $sin\phi = \frac{1}{2}$となる$\phi$は$\phi = \frac{\pi}{6}$

$y = 2sin(x + \frac{\pi}{6})$

$0 \le x < 2\pi$より、$\frac{\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6}$

$sin(x + \frac{\pi}{6})$が最大値1をとるのは、$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$のとき。$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

このとき、$y = 2 \cdot 1 = 2$

$sin(x + \frac{\pi}{6})$が最小値-1をとるのは、$x + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$のとき。$x = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$

このとき、$y = 2 \cdot (-1) = -2$

3. 最終的な答え

問題3

(1) $sin(\alpha + \beta) = \frac{11}{21}$

(2) $tan2\alpha = 4\sqrt{5}$

問題4

$y = 2sin(x + \frac{\pi}{6})$

$x = \frac{\pi}{3}$で最大値2をとる。

$x = \frac{4\pi}{3}$で最小値-2をとる。