ベクトル $\vec{a} = (0, 2, 1)$ と $\vec{b} = (2, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが3のベクトル $\vec{p}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (0, 2, 1)$ と $\vec{b} = (2, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが3のベクトル $\vec{p}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルを求めます。これは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積を計算することで求められます。

$\vec{a} \times \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(1) - (1)(-2) \\ (1)(2) - (0)(1) \\ (0)(-2) - (2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2 \\ 2-0 \\ 0-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$

得られたベクトル $\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$ を $\vec{c}$ とおきます。$\vec{c}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルです。

次に、$\vec{c}$ の大きさを求めます。

$|\vec{c}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$

大きさが3のベクトル $\vec{p}$ は、$\vec{c}$ を正規化（大きさを1にすること）してから、3倍することで得られます。

$\vec{c}$ の単位ベクトルは $\frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \\ -2/3 \end{pmatrix}$

$\vec{p} = 3 \cdot \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = 3 \begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \\ -2/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

また、$-\vec{c}$ も $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に垂直なベクトルなので、大きさ3のベクトル $\vec{p}$ は

$\vec{p} = 3 \cdot \frac{-\vec{c}}{|\vec{c}|} = -3 \begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \\ -2/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

も解となります。

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ または $\vec{p} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$