(1) 3点 A(1, 2, 3), B(2, 3, -1), C(3, 1, 4) で定まる平面ABC上に点 P(x, -6, 17) があるとき, $x$ の値を求める。 (2) 4点 A(5, 2, 5), B(4, 2, 3), C(3, 1, 2), D(-2, -1, z) が同一平面上にあるとき, $z$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 3点 A(1, 2, 3), B(2, 3, -1), C(3, 1, 4) で定まる平面ABC上に点 P(x, -6, 17) があるとき, $x$ の値を求める。

(2) 4点 A(5, 2, 5), B(4, 2, 3), C(3, 1, 2), D(-2, -1, z) が同一平面上にあるとき, $z$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$となる実数 $s, t$ が存在するとき、点Pは平面ABC上にある。

$\overrightarrow{AP} = (x-1, -8, 14)$

$\overrightarrow{AB} = (1, 1, -4)$

$\overrightarrow{AC} = (2, -1, 1)$

よって、

$(x-1, -8, 14) = s(1, 1, -4) + t(2, -1, 1)$

$x - 1 = s + 2t$

$-8 = s - t$

$14 = -4s + t$

2番目の式と3番目の式から $s$ と $t$ を求める。

$-8 = s - t$

$14 = -4s + t$

足し合わせると

$6 = -3s$

$s = -2$

$-8 = -2 - t$

$t = 6$

$x - 1 = -2 + 2(6) = 10$

$x = 11$

(2)

$\overrightarrow{AD} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$となる実数 $s, t$ が存在するとき、点Dは平面ABC上にある。

$\overrightarrow{AD} = (-7, -3, z-5)$

$\overrightarrow{AB} = (-1, 0, -2)$

$\overrightarrow{AC} = (-2, -1, -3)$

よって、

$(-7, -3, z-5) = s(-1, 0, -2) + t(-2, -1, -3)$

$-7 = -s - 2t$

$-3 = -t$

$z - 5 = -2s - 3t$

2番目の式から $t = 3$

$-7 = -s - 2(3)$

$-7 = -s - 6$

$s = 1$

$z - 5 = -2(1) - 3(3) = -2 - 9 = -11$

$z = -6$

3. 最終的な答え

(1) $x = 11$

(2) $z = -6$