空間内の4点 $A(1, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$, $C(0, 0, 1)$, $D(3, -5, z)$ が同一平面上にあるとき、$z$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

空間内の4点 $A(1, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$, $C(0, 0, 1)$, $D(3, -5, z)$ が同一平面上にあるとき、$z$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

4点が同一平面上にある条件は、ベクトル $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ が線形従属であることです。つまり、$\overrightarrow{AD} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ を満たす実数 $s, t$ が存在することです。

まず、ベクトル $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ を求めます。

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = (3, -5, z) - (1, 0, 0) = (2, -5, z)$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (0, 1, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 0)$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (0, 0, 1) - (1, 0, 0) = (-1, 0, 1)$

$\overrightarrow{AD} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ より、

$(2, -5, z) = s(-1, 1, 0) + t(-1, 0, 1) = (-s-t, s, t)$

したがって、次の連立方程式を得ます。

$2 = -s - t$

$-5 = s$

$z = t$

2番目の式から $s = -5$ がわかります。これを1番目の式に代入すると、

$2 = -(-5) - t$

$2 = 5 - t$

$t = 5 - 2 = 3$

したがって、$z = t = 3$

3. 最終的な答え

$z = 3$