座標平面上に3点A(1, 0), B(14, 0), C(5, 3)を頂点とする三角形ABCがあります。 (1) 三角形ABCの重心の座標を求める。 (2) 三角形ABCの外心の座標を求める。 (3) 三角形ABCの内心の座標を求める。

はい、承知しました。数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

座標平面上に3点A(1, 0), B(14, 0), C(5, 3)を頂点とする三角形ABCがあります。

(1) 三角形ABCの重心の座標を求める。

(2) 三角形ABCの外心の座標を求める。

(3) 三角形ABCの内心の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 重心

重心は各頂点の座標の平均です。

$G = (\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3})$

$G = (\frac{1 + 14 + 5}{3}, \frac{0 + 0 + 3}{3})$

$G = (\frac{20}{3}, 1)$

(2) 外心

外心は、三角形の各辺の垂直二等分線の交点です。外心をO(x, y)とします。

OA = OB = OC なので、OA^2 = OB^2 = OC^2 が成り立ちます。

OA^2 = $(x-1)^2 + (y-0)^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2$

OB^2 = $(x-14)^2 + (y-0)^2 = x^2 - 28x + 196 + y^2$

OC^2 = $(x-5)^2 + (y-3)^2 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 10x + y^2 - 6y + 34$

OA^2 = OB^2 より、

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 - 28x + 196 + y^2$

$26x = 195$

$x = \frac{195}{26} = \frac{15}{2} = 7.5$

OA^2 = OC^2 より、

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 - 10x + y^2 - 6y + 34$

$8x + 6y = 33$

$8(\frac{15}{2}) + 6y = 33$

$60 + 6y = 33$

$6y = -27$

$y = -\frac{27}{6} = -\frac{9}{2} = -4.5$

したがって、外心の座標は $(\frac{15}{2}, -\frac{9}{2}) = (7.5, -4.5)$

(3) 内心

内心は、三角形の内角の二等分線の交点です。内心をI(x, y)とします。内心は、各辺からの距離が等しい点です。

まず、各辺の長さを求めます。

AB = $|14 - 1| = 13$

AC = $\sqrt{(5-1)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$

BC = $\sqrt{(14-5)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

内心の公式は、

$I = (\frac{a x_A + b x_B + c x_C}{a + b + c}, \frac{a y_A + b y_B + c y_C}{a + b + c})$

ここで、a = BC, b = AC, c = AB

$I = (\frac{3\sqrt{10} * 1 + 5 * 14 + 13 * 5}{3\sqrt{10} + 5 + 13}, \frac{3\sqrt{10} * 0 + 5 * 0 + 13 * 3}{3\sqrt{10} + 5 + 13})$

$I = (\frac{3\sqrt{10} + 70 + 65}{3\sqrt{10} + 18}, \frac{39}{3\sqrt{10} + 18})$

$I = (\frac{3\sqrt{10} + 135}{3\sqrt{10} + 18}, \frac{39}{3\sqrt{10} + 18}) = (\frac{\sqrt{10} + 45}{\sqrt{10} + 6}, \frac{13}{\sqrt{10} + 6})$

$I = (\frac{(\sqrt{10} + 45)(\sqrt{10} - 6)}{10 - 36}, \frac{13(\sqrt{10} - 6)}{10 - 36}) = (\frac{10 - 6\sqrt{10} + 45\sqrt{10} - 270}{-26}, \frac{13\sqrt{10} - 78}{-26})$

$I = (\frac{-260 + 39\sqrt{10}}{-26}, \frac{13\sqrt{10} - 78}{-26}) = (10 - \frac{3}{2}\sqrt{10}, 3 - \frac{1}{2}\sqrt{10})$

3. 最終的な答え

(1) 重心の座標: $(\frac{20}{3}, 1)$

(2) 外心の座標: $(\frac{15}{2}, -\frac{9}{2})$

(3) 内心の座標: $(10 - \frac{3}{2}\sqrt{10}, 3 - \frac{1}{2}\sqrt{10})$