2点 A(2, -3) と B(-8, 4) を結ぶ線分 AB について、次の点の座標を求めます。 (1) 線分 AB を 3:1 に内分する点 (2) 線分 AB を 2:3 に内分する点 (3) 線分 AB を 3:1 に外分する点 (4) 線分 AB を 2:3 に外分する点 (5) 線分 AB の中点

1. 問題の内容

2点 A(2, -3) と B(-8, 4) を結ぶ線分 AB について、次の点の座標を求めます。

(1) 線分 AB を 3:1 に内分する点

(2) 線分 AB を 2:3 に内分する点

(3) 線分 AB を 3:1 に外分する点

(4) 線分 AB を 2:3 に外分する点

(5) 線分 AB の中点

2. 解き方の手順

A(x1, y1), B(x2, y2) を結ぶ線分を m:n に内分する点の座標は

$(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n})$

A(x1, y1), B(x2, y2) を結ぶ線分を m:n に外分する点の座標は

$(\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n})$

A(x1, y1), B(x2, y2) の中点の座標は

$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$

(1) 3:1 に内分する点

$x = \frac{1*2 + 3*(-8)}{3+1} = \frac{2 - 24}{4} = \frac{-22}{4} = -\frac{11}{2}$

$y = \frac{1*(-3) + 3*4}{3+1} = \frac{-3 + 12}{4} = \frac{9}{4}$

(2) 2:3 に内分する点

$x = \frac{3*2 + 2*(-8)}{2+3} = \frac{6 - 16}{5} = \frac{-10}{5} = -2$

$y = \frac{3*(-3) + 2*4}{2+3} = \frac{-9 + 8}{5} = \frac{-1}{5}$

(3) 3:1 に外分する点

$x = \frac{-1*2 + 3*(-8)}{3-1} = \frac{-2 - 24}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

$y = \frac{-1*(-3) + 3*4}{3-1} = \frac{3 + 12}{2} = \frac{15}{2}$

(4) 2:3 に外分する点

$x = \frac{-3*2 + 2*(-8)}{2-3} = \frac{-6 - 16}{-1} = \frac{-22}{-1} = 22$

$y = \frac{-3*(-3) + 2*4}{2-3} = \frac{9 + 8}{-1} = \frac{17}{-1} = -17$

(5) 中点

$x = \frac{2 + (-8)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$y = \frac{-3 + 4}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $(-\frac{11}{2}, \frac{9}{4})$

(2) $(-2, -\frac{1}{5})$

(3) $(-13, \frac{15}{2})$

(4) $(22, -17)$

(5) $(-3, \frac{1}{2})$