三角形OABにおいて、辺OA上に点PをOP:PA=3:2となるように、辺OB上に点QをOQ:QB=5:1となるように取る。線分AQとBPの交点をRとし、線分ORの延長が線分ABと交わる点をSとする。 (1) ベクトルORをベクトルOAとベクトルOBを用いて表す。 (2) OR:RSを求める。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OA上に点PをOP:PA=3:2となるように、辺OB上に点QをOQ:QB=5:1となるように取る。線分AQとBPの交点をRとし、線分ORの延長が線分ABと交わる点をSとする。

(1) ベクトルORをベクトルOAとベクトルOBを用いて表す。

(2) OR:RSを求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、ベクトルOPとベクトルOQをベクトルOAとベクトルOBを用いて表す。

$OP = \frac{3}{5}OA$

$OQ = \frac{5}{6}OB$

次に、点Rは線分AQ上にあるので、実数sを用いて以下のように表せる。

$OR = (1-s)OA + sOQ$

$OR = (1-s)OA + s\frac{5}{6}OB$

また、点Rは線分BP上にあるので、実数tを用いて以下のように表せる。

$OR = tOP + (1-t)OB$

$OR = t\frac{3}{5}OA + (1-t)OB$

したがって、

$(1-s)OA + \frac{5}{6}sOB = \frac{3}{5}tOA + (1-t)OB$

ベクトルOAとベクトルOBは一次独立なので、

$1-s = \frac{3}{5}t$

$\frac{5}{6}s = 1-t$

これらの式を解くと、

$5 - 5s = 3t$

$5s = 6 - 6t$

$5 = 3t + 5s = 3t + 6 - 6t$

$3t = 1$

$t = \frac{1}{3}$

$5s = 6 - 6(\frac{1}{3}) = 4$

$s = \frac{4}{5}$

よって、

$OR = (1-\frac{4}{5})OA + \frac{4}{5}\frac{5}{6}OB$

$OR = \frac{1}{5}OA + \frac{2}{3}OB$

(2)

点Sは線分ORの延長上にあるので、実数kを用いて以下のように表せる。

$OS = kOR$

$OS = k(\frac{1}{5}OA + \frac{2}{3}OB)$

$OS = \frac{k}{5}OA + \frac{2k}{3}OB$

また、点Sは線分AB上にあるので、実数lを用いて以下のように表せる。

$OS = (1-l)OA + lOB$

したがって、

$\frac{k}{5}OA + \frac{2k}{3}OB = (1-l)OA + lOB$

ベクトルOAとベクトルOBは一次独立なので、

$\frac{k}{5} = 1-l$

$\frac{2k}{3} = l$

$\frac{k}{5} = 1 - \frac{2k}{3}$

$3k = 15 - 10k$

$13k = 15$

$k = \frac{15}{13}$

$OS = \frac{15}{13}OR$

$OR:OS = 1:\frac{15}{13} = 13:15$

$OR:RS = OR:(OS-OR) = 13:(15-13) = 13:2$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OR} = \frac{1}{5}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$

(2) $OR:RS = 13:2$