原点をOとする座標平面上に、2点A(1, 2), P(4, 3)があります。直線OAに関して、点Pと対称な点Qの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

原点をOとする座標平面上に、2点A(1, 2), P(4, 3)があります。直線OAに関して、点Pと対称な点Qの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Qの座標を(x, y)とします。

直線OAの方程式は、$y = 2x$です。

ステップ1: 線分PQの中点が直線OA上にある条件

線分PQの中点をMとすると、Mの座標は$\left(\frac{4+x}{2}, \frac{3+y}{2}\right)$です。

Mが直線OA上にあるので、以下が成り立ちます。

$$\frac{3+y}{2} = 2 \cdot \frac{4+x}{2}$$

$$3+y = 4+x$$

$$y = x+1$$

ステップ2: 直線PQが直線OAと垂直である条件

直線PQの傾きは$\frac{y-3}{x-4}$です。

直線OAの傾きは2です。

2つの直線が垂直である条件は、傾きの積が-1になることです。

$$\frac{y-3}{x-4} \cdot 2 = -1$$

$$2(y-3) = -(x-4)$$

$$2y-6 = -x+4$$

$$2y = -x+10$$

ステップ3: 連立方程式を解く

$y = x+1$と$2y = -x+10$の連立方程式を解きます。

$2(x+1) = -x+10$

$2x+2 = -x+10$

$3x = 8$

$x = \frac{8}{3}$

$y = x+1 = \frac{8}{3} + 1 = \frac{11}{3}$

したがって、点Qの座標は$\left(\frac{8}{3}, \frac{11}{3}\right)$です。

3. 最終的な答え

$\left(\frac{8}{3}, \frac{11}{3}\right)$