与えられた不等式が表す領域を図示する問題です。 (1) 連立不等式 $\begin{cases} 2x - 3y > 6 \\ 4x + 3y < 12 \end{cases}$ (2) $1 < x^2 + y^2 \le 9$ (3) $(x+y)(x^2 + y^2 - 2x) > 0$

1. 問題の内容

与えられた不等式が表す領域を図示する問題です。

(1) 連立不等式 $\begin{cases} 2x - 3y > 6 \\ 4x + 3y < 12 \end{cases}$

(2) $1 < x^2 + y^2 \le 9$

(3) $(x+y)(x^2 + y^2 - 2x) > 0$

2. 解き方の手順

(1) 連立不等式

それぞれの不等式を満たす領域を図示し、共通部分を求めます。

まず、$2x - 3y > 6$ を変形すると $y < \frac{2}{3}x - 2$ となります。直線 $y = \frac{2}{3}x - 2$ の下側の領域を表します。

次に、$4x + 3y < 12$ を変形すると $y < -\frac{4}{3}x + 4$ となります。直線 $y = -\frac{4}{3}x + 4$ の下側の領域を表します。

これらの2つの領域の共通部分が求める領域です。境界線は含みません。

(2) 円の不等式

$1 < x^2 + y^2 \le 9$ は、中心が原点 $(0,0)$ で半径が1の円の外側、かつ中心が原点 $(0,0)$ で半径が3の円の内側の領域を表します。

$x^2 + y^2 > 1$ より、半径1の円周は含みません。

$x^2 + y^2 \le 9$ より、半径3の円周は含みます。

(3) 積の不等式

$(x+y)(x^2 + y^2 - 2x) > 0$ を満たす領域を考えます。

これは、以下の2つの場合に分かれます。

(i) $\begin{cases} x+y > 0 \\ x^2 + y^2 - 2x > 0 \end{cases}$ または (ii) $\begin{cases} x+y < 0 \\ x^2 + y^2 - 2x < 0 \end{cases}$

(i) の場合：

$x+y > 0$ は $y > -x$ を意味し、直線 $y = -x$ の上側の領域を表します。

$x^2 + y^2 - 2x > 0$ は $(x-1)^2 + y^2 > 1$ を意味し、中心が $(1,0)$ で半径が1の円の外側の領域を表します。

(ii) の場合：

$x+y < 0$ は $y < -x$ を意味し、直線 $y = -x$ の下側の領域を表します。

$x^2 + y^2 - 2x < 0$ は $(x-1)^2 + y^2 < 1$ を意味し、中心が $(1,0)$ で半径が1の円の内側の領域を表します。

(i) と (ii) の両方の領域を合わせたものが、求める領域です。境界線は含みません。

3. 最終的な答え

領域を図示する必要があるので、言葉での説明のみになります。

(1) $y < \frac{2}{3}x - 2$ かつ $y < -\frac{4}{3}x + 4$ を満たす領域（境界線を含まない）

(2) $1 < x^2 + y^2 \le 9$ を満たす領域（半径1の円周を含まず、半径3の円周を含む）

(3) $(x+y > 0$ かつ $(x-1)^2 + y^2 > 1)$ または $(x+y < 0$ かつ $(x-1)^2 + y^2 < 1)$ を満たす領域（境界線を含まない）