不等式 $x^2 + y^2 \le 4$ と $y - \sqrt{3}x \le -2$ を同時に満たす領域を図示し、その面積を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 + y^2 \le 4$ と $y - \sqrt{3}x \le -2$ を同時に満たす領域を図示し、その面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式が表す領域を考えます。

* $x^2 + y^2 \le 4$ は、中心が原点 $(0,0)$ 、半径が $2$ の円とその内部を表します。

* $y - \sqrt{3}x \le -2$ は、直線 $y = \sqrt{3}x - 2$ よりも下側の領域を表します。この直線を $y = \sqrt{3} x -2$と変形します。

次に、これらの領域を座標平面上に図示し、共通部分を求めます。

直線 $y = \sqrt{3}x - 2$ と円 $x^2 + y^2 = 4$ の交点を求めます。

$y = \sqrt{3}x - 2$を$x^2 + y^2 = 4$に代入します。

$x^2 + (\sqrt{3}x - 2)^2 = 4$

$x^2 + 3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 4$

$4x^2 - 4\sqrt{3}x = 0$

$4x(x - \sqrt{3}) = 0$

したがって、$x = 0$ または $x = \sqrt{3}$ です。

* $x=0$のとき、$y = \sqrt{3}(0) - 2 = -2$

* $x=\sqrt{3}$のとき、$y = \sqrt{3}(\sqrt{3}) - 2 = 3 - 2 = 1$

したがって、交点は $(0, -2)$ と $(\sqrt{3}, 1)$ です。

求める面積は、円 $x^2 + y^2 = 4$ の扇形から三角形を引いたものとして計算できます。

原点と点$(0, -2)$、$(\sqrt{3}, 1)$を結んだ角度を計算します。点$(0, -2)$は$y$軸負の方向なので、角度は$\frac{3\pi}{2}$です。点$(\sqrt{3}, 1)$は、$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin\theta = \frac{1}{2}$なので、$\theta = \frac{\pi}{6}$です。

したがって、間の角度は $\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi - \pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$ です。

円の半径は $2$ なので、扇形の面積は $\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{4\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$ です。

三角形の面積は $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2 = \sqrt{3}$ となります。

ただし、符号に注意すると、$(\sqrt{3}, 1)$は第一象限にあり$(0, -2)$は$y$軸負の方向にあるので、実際には三角形ではなく、弦と円弧で囲まれた弓形の面積になります。

直線の方程式から、$y + 2 = \sqrt{3} x$と変形できるので、原点から直線までの距離は$\frac{|0+2|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{4}} = 1$です。したがって、原点と点$(\sqrt{3}, 1)$、$(0, -2)$で囲まれた領域の面積は、扇形の面積から三角形の面積を引いたものになります。

三角形の面積は$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$です。

したがって、求める面積は、$\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$となります。

3. 最終的な答え

$\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$