与えられた対数の式 $\log_3 54 + \log_9 12 - \log_3 \sqrt{3} - \log_3 4$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた対数の式 $\log_3 54 + \log_9 12 - \log_3 \sqrt{3} - \log_3 4$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、対数の底を3に統一する。$\log_9 12 = \frac{\log_3 12}{\log_3 9} = \frac{\log_3 12}{2} = \frac{1}{2} \log_3 12 = \log_3 \sqrt{12}$である。

また、$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$なので、$\log_3 \sqrt{3} = \log_3 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$である。

よって、

$\log_3 54 + \log_9 12 - \log_3 \sqrt{3} - \log_3 4 = \log_3 54 + \log_3 \sqrt{12} - \log_3 \sqrt{3} - \log_3 4$

$= \log_3 54 + \log_3 \sqrt{12} - \frac{1}{2} - \log_3 4 = \log_3 54 + \log_3 \frac{\sqrt{12}}{4} - \frac{1}{2}$

ここで、$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$であるから、

$\log_3 54 + \log_3 \frac{2\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} = \log_3 54 + \log_3 \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$

$= \log_3 (54 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{1}{2} = \log_3 (27\sqrt{3}) - \frac{1}{2}$

$= \log_3 (3^3 \times 3^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2} = \log_3 (3^{3+\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2} = \log_3 3^{\frac{7}{2}} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

3. 最終的な答え

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