数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ について、以下の条件が与えられています。 * $\tan a_n = \frac{1}{n^2 + n + 1}$, $0 < a_n < \frac{\pi}{2}$ * $\tan b_n = \alpha n + \beta$ (ここで $\alpha, \beta$ は実数), $-\frac{\pi}{2} < b_n < \frac{\pi}{2}$ * $\tan a_n = \tan(b_{n+1} - b_n)$ (for $n = 1, 2, 3, ...$) これらの条件のもとで、以下の問いに答えます。 (1) $\alpha$ と $\beta$ を求めよ。 (2) $b_1$ を求めよ。 (3) 極限値 $\lim_{n \to \infty} b_n$ を求めよ。ただし、$\frac{\pi}{2} - x < \tan(\frac{\pi}{2} - x)$ ($0 < x < \frac{\pi}{2}$) が成り立つことを利用してもよい。 (4) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の和を求めよ。 (5) 自然数 $n$ に対し、$\tan(b_{n+1} - b_{n-1})$ を $n$ の式で表せ。ただし、$b_0 = 0$ とする。 (6) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (b_{n+1} - b_{n-1})$ の和を求めよ。ただし、$b_0 = 0$ とする。

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ について、以下の条件が与えられています。

* $\tan a_n = \frac{1}{n^2 + n + 1}$, $0 < a_n < \frac{\pi}{2}$

* $\tan b_n = \alpha n + \beta$ (ここで $\alpha, \beta$ は実数), $-\frac{\pi}{2} < b_n < \frac{\pi}{2}$

* $\tan a_n = \tan(b_{n+1} - b_n)$ (for $n = 1, 2, 3, ...$)

これらの条件のもとで、以下の問いに答えます。

(1) $\alpha$ と $\beta$ を求めよ。

(2) $b_1$ を求めよ。

(3) 極限値 $\lim_{n \to \infty} b_n$ を求めよ。ただし、$\frac{\pi}{2} - x < \tan(\frac{\pi}{2} - x)$ ($0 < x < \frac{\pi}{2}$) が成り立つことを利用してもよい。

(4) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の和を求めよ。

(5) 自然数 $n$ に対し、$\tan(b_{n+1} - b_{n-1})$ を $n$ の式で表せ。ただし、$b_0 = 0$ とする。

(6) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (b_{n+1} - b_{n-1})$ の和を求めよ。ただし、$b_0 = 0$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha$ と $\beta$ を求める。

$\tan a_n = \tan(b_{n+1} - b_n)$ より、$a_n = b_{n+1} - b_n$ が成り立ちます。(ただし、 $-\frac{\pi}{2} < a_n < \frac{\pi}{2}$と $-\frac{\pi}{2} < b_{n+1} - b_n < \frac{\pi}{2}$であることから。)

$\tan a_n = \frac{1}{n^2+n+1}$ であり、

$\tan(b_{n+1} - b_n) = \frac{\tan b_{n+1} - \tan b_n}{1 + \tan b_{n+1} \tan b_n} = \frac{\alpha(n+1)+\beta - (\alpha n + \beta)}{1 + (\alpha(n+1)+\beta)(\alpha n + \beta)} = \frac{\alpha}{1 + (\alpha(n+1)+\beta)(\alpha n + \beta)}$

したがって、$\frac{1}{n^2+n+1} = \frac{\alpha}{1 + (\alpha(n+1)+\beta)(\alpha n + \beta)}$ となります。

これを整理すると、$\alpha=1$ で、$1 + (n+1+\beta)(n+\beta)= n^2 + n + 1$ です。

展開して整理すると、$n^2 + (2\beta+1)n + \beta^2 + \beta + 1 = n^2 + n + 1$

これにより、$2\beta + 1 = 1$ かつ $\beta^2 + \beta = 0$ 。よって、$\beta = 0$。

したがって、$\alpha = 1$, $\beta = 0$。

(2) $b_1$ を求める。

$\tan b_n = n$ より、$\tan b_1 = \alpha \cdot 1 + \beta = 1 \cdot 1 + 0 = 1$。

$-\frac{\pi}{2} < b_1 < \frac{\pi}{2}$ より、$b_1 = \frac{\pi}{4}$。

(3) 極限値 $\lim_{n \to \infty} b_n$ を求める。

$a_n = b_{n+1} - b_n$ より、$b_{n+1} = b_n + a_n$。

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_k = \frac{\pi}{4} + \sum_{k=1}^{n-1} a_k$

$a_n = \arctan \frac{1}{n^2 + n + 1} = \arctan \frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)} = \arctan(n+1) - \arctan n = \arctan(n+1)- b_n$

$b_n = \arctan n$ であるから、$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \arctan n = \frac{\pi}{2}$

(4) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の和を求める。

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} a_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} (b_{k+1} - b_k) = \lim_{n \to \infty} (b_{n+1} - b_1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

(5) 自然数 $n$ に対し、$\tan(b_{n+1} - b_{n-1})$ を $n$ の式で表せ。

$\tan(b_{n+1} - b_{n-1}) = \tan (\arctan(n+1) - \arctan(n-1)) = \frac{(n+1) - (n-1)}{1 + (n+1)(n-1)} = \frac{2}{1 + n^2 - 1} = \frac{2}{n^2}$

(6) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (b_{n+1} - b_{n-1})$ の和を求めよ。

$\sum_{n=1}^{\infty} (b_{n+1} - b_{n-1}) = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} (b_{n+1} - b_{n-1}) = \lim_{N \to \infty} (b_2 + b_3 - b_0 - b_1 + b_3 + b_4 - b_1 - b_2 + \dots + b_{N+1} + b_{N} - b_{N-1} - b_N ) = \lim_{N \to \infty} (b_{N+1} + b_N - b_1 - b_0) = \lim_{N \to \infty} (\arctan(N+1) + \arctan(N) - \frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 1$, $\beta = 0$

(2) $b_1 = \frac{\pi}{4}$

(3) $\lim_{n \to \infty} b_n = \frac{\pi}{2}$

(4) $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{\pi}{4}$

(5) $\tan(b_{n+1} - b_{n-1}) = \frac{2}{n^2}$

(6) $\sum_{n=1}^{\infty} (b_{n+1} - b_{n-1}) = \frac{3\pi}{4}$