与えられた式 $x(x+1)(x+2)(x+3)$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x(x+1)(x+2)(x+3)$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x(x+1)(x+2)(x+3)$ の項の順序を入れ替えて計算しやすくする。具体的には、$x$と$(x+3)$、$(x+1)$と$(x+2)$をそれぞれかけ合わせる。

ステップ1:

$x(x+3)$を計算する。

$x(x+3) = x^2 + 3x$

ステップ2:

$(x+1)(x+2)$を計算する。

$(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$

ステップ3:

ステップ1とステップ2の結果を掛け合わせる。

$(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2)$

ステップ4:

ここで、$A = x^2 + 3x$と置換すると、

$A(A+2) = A^2 + 2A$

ステップ5:

$A$を$x^2 + 3x$に戻して計算する。

$(x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x) = (x^4 + 6x^3 + 9x^2) + (2x^2 + 6x)$

ステップ6:

同類項をまとめる。

$x^4 + 6x^3 + 9x^2 + 2x^2 + 6x = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x$

3. 最終的な答え

$x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x$