右の図のように数が並んでいる。縦横2個ずつの数を線で囲み、枠の中の4つの数を小さい順に $a, b, c, d$ とする。 (1) $a=41$ のとき、$a+b+c+d$ の値を求める。 (2) 枠をどこにとっても、$a+b+c+d$ の値は8の倍数になることを文字を使って説明する。

1. 問題の内容

右の図のように数が並んでいる。縦横2個ずつの数を線で囲み、枠の中の4つの数を小さい順に $a, b, c, d$ とする。

(1) $a=41$ のとき、$a+b+c+d$ の値を求める。

(2) 枠をどこにとっても、$a+b+c+d$ の値は8の倍数になることを文字を使って説明する。

2. 解き方の手順

(1)

$a=41$ のとき、図を見ると $b=43, c=53, d=55$ である。

したがって、

$a+b+c+d = 41 + 43 + 53 + 55 = 192$

(2)

枠の中の最も小さい数を $a$ とすると、$b = a + 2$, $c = a + 12$, $d = a + 14$ と表せる。

$a+b+c+d$ を計算すると、

$a+b+c+d = a + (a+2) + (a+12) + (a+14)$

$a+b+c+d = 4a + 28$

$a+b+c+d = 4(a+7)$

$4(a+7)$ は 4の倍数であり、また問題より4つの数の和は8の倍数になることを示す必要があるので、さらに$a+7$が偶数であることを示す。

$a$が奇数の場合、$a+7$ は偶数となる。$a$が偶数の場合、$a+7$は奇数となる。

しかし、図を見ると $a$ は常に奇数である。したがって、$a+7$ は偶数であり、$a+7 = 2k$ (kは整数) と表せる。

よって、 $4(a+7) = 4(2k) = 8k$

これは8の倍数である。

3. 最終的な答え

(1) 192

(2) $a+b+c+d$ は8の倍数になる