全体集合 $U = \{n | 1 \le n \le 9, n は自然数\}$ とする。 $A \cap B = \{3, 7\}$, $A \cup B = \{2, 3, 6, 7, 9\}$, $\overline{A} \cap B = \{9\}$ であるとき、集合 $A$, $B$, $\overline{A \cup B}$ を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{n | 1 \le n \le 9, n は自然数\}$ とする。

$A \cap B = \{3, 7\}$, $A \cup B = \{2, 3, 6, 7, 9\}$, $\overline{A} \cap B = \{9\}$ であるとき、集合 $A$, $B$, $\overline{A \cup B}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、全体集合 $U$ は、

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

である。

$\overline{A} \cap B = \{9\}$ であるから、$9 \in B$ かつ $9 \notin A$ である。

$A \cap B = \{3, 7\}$ であるから、$3 \in A$, $3 \in B$, $7 \in A$, $7 \in B$ である。

$A \cup B = \{2, 3, 6, 7, 9\}$ であるから、$2 \in A \cup B$, $3 \in A \cup B$, $6 \in A \cup B$, $7 \in A \cup B$, $9 \in A \cup B$ である。

$9 \notin A$ なので、$9 \in B$。

$3 \in A \cap B$ より、$3 \in A$ かつ $3 \in B$。

$7 \in A \cap B$ より、$7 \in A$ かつ $7 \in B$。

$2 \in A \cup B$ なので、$2 \in A$ または $2 \in B$。

$6 \in A \cup B$ なので、$6 \in A$ または $6 \in B$。

$B$ に含まれる要素は $\{3, 7, 9\}$ の他に $2$ または $6$ が含まれる可能性がある。

$A \cup B = \{2, 3, 6, 7, 9\}$ であり、$A \cap B = \{3, 7\}$ より、$A \cup B = (A-B) \cup (A \cap B) \cup (B-A)$ となる。

$\overline{A} \cap B = B - A = \{9\}$ であるから、$9 \in B$ かつ $9 \notin A$。

$2$ と $6$ は $A$ または $B$ に属する。

$A \cap B = \{3, 7\}$ なので、$A = \{2, 3, 6, 7\}$ または $A = \{2, 3, 7\}$ または $A = \{3, 6, 7\}$ または $A = \{3, 7\}$。

$B = \{6, 7, 9\}$または $B = \{2, 7, 9\}$ がありうる。

$A \cap B = \{3, 7\}$であるから、$3 \in A \cap B$ より、$3 \in A$ かつ $3 \in B$。よって、$B = \{2, 3, 6, 7, 9\} - A$

$A = \{2, 3, 6, 7\}$とすると $B = \{3, 7, 9\}$

$A = \{2, 3, 7\}$とすると $B = \{3, 6, 7, 9\}$

$A = \{3, 6, 7\}$とすると $B = \{2, 3, 7, 9\}$

$A = \{3, 7\}$とすると $B = \{2, 3, 6, 7, 9\}$。$A \cap B$より、$B=\{3,7,9\} \cup \{2,6\}$

$\overline{A} \cap B = \{9\}$ であるので、$A$ に含まれない $B$ の要素は $9$ である。

$A \cup B = \{2, 3, 6, 7, 9\}$ であるので、$A$ には $2, 3, 6, 7$ のいずれかが含まれる。

$A \cap B = \{3, 7\}$ であるので、$A$ には $3, 7$ が含まれる。よって、$A$ は $\{3, 7\} \cup \{2, 6\}$ の組み合わせとなる。

$B$ には $3, 7, 9$ が含まれる。よって、$B = \{3, 7, 9\} \cup \{2, 6\}$ の組み合わせとなる。

$A = \{2, 3, 6, 7\}$ とすると、$A \cup B = \{2, 3, 6, 7, 9\}$ より、$B = \{3, 7, 9\}$。$\overline{A} = \{1, 4, 5, 8, 9\}$ となり、$\overline{A} \cap B = \{9\}$ を満たす。

よって、$A = \{2, 3, 6, 7\}$, $B = \{3, 7, 9\}$。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{2, 3, 6, 7, 9\} = \{1, 4, 5, 8\}$.

3. 最終的な答え

$A = \{2, 3, 6, 7\}$

$B = \{3, 7, 9\}$

$\overline{A \cup B} = \{1, 4, 5, 8\}$