(1) 56, 168, 252の最大公約数と最小公倍数を求める。 (2) $a$ を8で割ると5余り、$b$ を8で割ると7余るとき、$a+b$ と $ab$ を8で割った余りを求める。 (3) 248と93の最大公約数を、互除法を用いて求める。

1. 問題の内容

(1) 56, 168, 252の最大公約数と最小公倍数を求める。

(2) $a$ を8で割ると5余り、$b$ を8で割ると7余るとき、$a+b$ と $ab$ を8で割った余りを求める。

(3) 248と93の最大公約数を、互除法を用いて求める。

2. 解き方の手順

(1)

56 = 2^3 * 7

168 = 2^3 * 3 * 7

252 = 2^2 * 3^2 * 7

最大公約数は、共通因数の最小の指数をとって、2^2 * 7 = 28。

最小公倍数は、全ての因数の最大の指数をとって、2^3 * 3^2 * 7 = 504。

(2)

$a = 8m + 5$, $b = 8n + 7$ (m, nは整数)と表せる。

$a + b = (8m + 5) + (8n + 7) = 8(m + n) + 12 = 8(m + n + 1) + 4$

よって、$a + b$ を8で割った余りは4。

$ab = (8m + 5)(8n + 7) = 64mn + 56m + 40n + 35 = 8(8mn + 7m + 5n + 4) + 3$

よって、$ab$ を8で割った余りは3。

(3)

互除法を用いて計算する。

$248 = 93 \cdot 2 + 62$

$93 = 62 \cdot 1 + 31$

$62 = 31 \cdot 2 + 0$

よって、248と93の最大公約数は31。

3. 最終的な答え

(1) 最大公約数は 28。最小公倍数は 504。

(2) $a+b$ を8で割ったときの余りは 4。$ab$ を8で割ったときの余りは 3。

(3) 248と93の最大公約数は 31。