大問7は、与えられた3つの問題に答える形式です。 [1] 3つの数 56, 168, 252 の最大公約数と最小公倍数を求める問題。 [2] 整数 a, b があり、$a$ を 8 で割ると 5 余り、$b$ を 8 で割ると 7 余るとき、$a+b$ と $ab$ を 8 で割った余りを求める問題。 [3] 248 と 93 の最大公約数を、互除法を用いて求める問題。

1. 問題の内容

大問7は、与えられた3つの問題に答える形式です。

[1] 3つの数 56, 168, 252 の最大公約数と最小公倍数を求める問題。

[2] 整数 a, b があり、$a$ を 8 で割ると 5 余り、$b$ を 8 で割ると 7 余るとき、$a+b$ と $ab$ を 8 で割った余りを求める問題。

[3] 248 と 93 の最大公約数を、互除法を用いて求める問題。

2. 解き方の手順

[1]

* 最大公約数：

56 = 2^3 * 7

168 = 2^3 * 3 * 7

252 = 2^2 * 3^2 * 7

最大公約数は $2^2 * 7 = 28$

* 最小公倍数：

最小公倍数は $2^3 * 3^2 * 7 = 504$

[2]

* $a$ を 8 で割ると 5 余るので、$a = 8m + 5$ （m は整数）

* $b$ を 8 で割ると 7 余るので、$b = 8n + 7$ （n は整数）

* $a + b = (8m + 5) + (8n + 7) = 8m + 8n + 12 = 8(m + n + 1) + 4$

よって、$a+b$ を 8 で割った余りは 4 。

* $ab = (8m + 5)(8n + 7) = 64mn + 56m + 40n + 35 = 8(8mn + 7m + 5n + 4) + 3$

よって、$ab$ を 8 で割った余りは 3 。

[3]

互除法を用いて 248 と 93 の最大公約数を求める。

* $248 = 93 \cdot 2 + 62$

* $93 = 62 \cdot 1 + 31$

* $62 = 31 \cdot 2 + 0$

したがって、248 と 93 の最大公約数は 31。

3. 最終的な答え

[1]

* 最大公約数は 28。

* 最小公倍数は 504。

[2]

* $a+b$ を 8 で割った余りは 4。

* $ab$ を 8 で割った余りは 3。

[3]

* $248 = 93 \cdot 2 + 62$

* $93 = 62 \cdot 1 + 31$

* $62 = 31 \cdot 2 + 0$

* したがって、248 と 93 の最大公約数は 31。