4次方程式 $x^4 - 2x^3 + bx^2 - 2x + 1 = 0$ が実数解を持つような $b$ の値の範囲を求める。また、ちょうど3つの実数解を持つときの $b$ の値と解を求める。

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 - 2x^3 + bx^2 - 2x + 1 = 0$ が実数解を持つような $b$ の値の範囲を求める。また、ちょうど3つの実数解を持つときの $b$ の値と解を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式は相反方程式であることに気づく。

$x \ne 0$ であるから、$x^2$ で割ると、

$x^2 - 2x + b - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 2\left(x + \frac{1}{x}\right) + b = 0$

ここで、$t = x + \frac{1}{x}$ とおくと、$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$ となる。

また、$|t| = |x + \frac{1}{x}| \ge 2$ (相加相乗平均)である。

したがって、

$t^2 - 2 - 2t + b = 0$

$t^2 - 2t - 2 + b = 0$

$t^2 - 2t - 2 = -b$

$y = t^2 - 2t - 2$ と $y = -b$ のグラフの交点を考える。ただし、$|t| \ge 2$

$y = t^2 - 2t - 2 = (t-1)^2 - 3$

$t=1$ のとき $y=-3$

$t=2$ のとき $y=4-4-2=-2$

$t=-2$ のとき $y=4+4-2=6$

$t \ge 2$ の範囲で、$y \ge -2$

$t \le -2$ の範囲で、$y \ge 6$

したがって、$y = t^2 - 2t - 2$ のグラフと $y = -b$ のグラフが交点を持つ条件は、$-b \ge -2$ または $-b \ge 6$ である。

$b \le 2$ または $b \le -6$

つまり、$b \le 2$

次に、ちょうど3つの実数解を持つときを考える。

これは、$x + \frac{1}{x} = t$ が異なる2つの実数解を持つ場合である。

すなわち、 $x^2 - tx + 1 = 0$ が異なる2つの実数解を持つ必要がある。

$D = t^2 - 4 > 0$

$t^2 > 4$

$t > 2$ または $t < -2$

$y = t^2 - 2t - 2 = -b$ が $t = 2$ または $t = -2$ のときに $-b$ と一致すれば良い。

$t=2$ のとき $y=-2$ なので $-b = -2$ より $b = 2$

$t=-2$ のとき $y=6$ なので $-b = 6$ より $b = -6$

$b=2$ のとき $x + \frac{1}{x} = 2$ より $x^2 - 2x + 1 = 0$ $(x-1)^2 = 0$ より $x = 1$ (重解)

$b=2$ のとき $t^2 - 2t - 2 = -2$ より $t(t-2)=0$ なので $t=0, 2$

$t=0$ のとき $x + \frac{1}{x} = 0$ より $x^2 + 1 = 0$ なので虚数解

$t=2$ のとき $x + \frac{1}{x} = 2$ より $x^2 - 2x + 1 = 0$ より $x=1$ (重解)

したがって、b=2 の時、実数解は x=1 (4重解)なので、不適

$b=-6$ のとき $y = t^2 - 2t - 2 = 6$

$t^2 - 2t - 8 = 0$

$(t-4)(t+2)=0$

$t=4, -2$

$t=4$ のとき $x + \frac{1}{x} = 4$ より $x^2 - 4x + 1 = 0$ $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

$t=-2$ のとき $x + \frac{1}{x} = -2$ より $x^2 + 2x + 1 = 0$ $(x+1)^2 = 0$ より $x = -1$ (重解)

したがって、b=-6 のとき、実数解は $x = 2 \pm \sqrt{3}, -1$ (重解) であり、合計3つの実数解を持つ。

3. 最終的な答え

$b$ の値の範囲: $b \le 2$

ちょうど3つの実数解を持つときの $b$ の値: $b = -6$

その時の解: $x = 2 \pm \sqrt{3}, -1$