問題は $(x+1)^6$ を二項定理を使って展開することです。途中まで展開が示されており、残りの部分を計算して展開式を完成させる必要があります。

1. 問題の内容

問題は $(x+1)^6$ を二項定理を使って展開することです。途中まで展開が示されており、残りの部分を計算して展開式を完成させる必要があります。

2. 解き方の手順

与えられた式を完成させるために、二項定理を使います。二項定理は $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k a^{n-k} b^k$ で表されます。

この問題では、$a = x$, $b = 1$, $n = 6$ です。

与えられた式は以下の通りです。

${}_6 C_0 x^6 + {}_6 C_1 x^5 \cdot 1 + {}_6 C_2 x^4 \cdot 1^2 + {}_6 C_3 x^3 \cdot 1^3 + {}_6 C_4 x^2 \cdot 1^4 + {}_6 C_5 x \cdot 1^5 + {}_6 C_6 \cdot 1^6$

各項の二項係数を計算します。

* ${}_6 C_0 = 1$

* ${}_6 C_1 = 6$

* ${}_6 C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

* ${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

* ${}_6 C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

* ${}_6 C_5 = \frac{6!}{5!1!} = 6$

* ${}_6 C_6 = 1$

これらの値を代入して展開式を計算します。

$1 \cdot x^6 + 6 \cdot x^5 \cdot 1 + 15 \cdot x^4 \cdot 1^2 + 20 \cdot x^3 \cdot 1^3 + 15 \cdot x^2 \cdot 1^4 + 6 \cdot x \cdot 1^5 + 1 \cdot 1^6$

$= x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$

3. 最終的な答え

$(x+1)^6 = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$