複素数$\alpha$と$\beta$について、$\alpha + \beta + i = 0$のとき、$\overline{\alpha} + \overline{\beta}$を求めよ。

1. 問題の内容

複素数$\alpha$と$\beta$について、$\alpha + \beta + i = 0$のとき、$\overline{\alpha} + \overline{\beta}$を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた条件$\alpha + \beta + i = 0$の両辺の複素共役を取ります。複素共役の性質として、$\overline{z_1+z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$と$\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$が成り立ちます。実数の複素共役は元の実数自身であり、虚数$i$の複素共役は$-i$です。

$\alpha + \beta + i = 0$ の両辺の複素共役をとると、

$\overline{\alpha + \beta + i} = \overline{0}$

$\overline{\alpha} + \overline{\beta} + \overline{i} = 0$

$\overline{\alpha} + \overline{\beta} - i = 0$

よって、$\overline{\alpha} + \overline{\beta} = i$

3. 最終的な答え

$\overline{\alpha} + \overline{\beta} = i$