行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 2 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ において、以下の選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。 1. Aは正則で、det($A^{-1}$) = 2

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 2 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ において、以下の選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。

1. Aは正則で、det($A^{-1}$) = 2

2. Aは正則で、det($A^{-1}$) = $\frac{1}{2}$

3. Aは正則でなく、det($A$) = 0

4. Aは正則でなく、det($A$) = $\frac{1}{2}$

5. 上記1～4はすべて正しくない

2. 解き方の手順

行列 $A$ が正則かどうかは、その行列式を計算することで判断できます。行列式が0でなければ正則であり、0であれば正則ではありません。

$A$ の行列式は、次のように計算できます。

$\det(A) = 1 \cdot (2 \cdot 1 - c \cdot 0) - a \cdot (0 \cdot 1 - c \cdot 0) + b \cdot (0 \cdot 0 - 2 \cdot 0)$

$\det(A) = 1 \cdot 2 - a \cdot 0 + b \cdot 0$

$\det(A) = 2$

$A$ の行列式は2であり、0ではないため、$A$ は正則です。

次に、$A^{-1}$ の行列式を計算します。逆行列の行列式は、元の行列の行列式の逆数になります。

$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$

$\det(A^{-1}) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

選択肢2が正しいです。

Aは正則で、det($A^{-1}$) = $\frac{1}{2}$