与えられた数式 $x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた数式 $x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を$f(x, y, z)$と置きます。

$f(x, y, z) = x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y)$

もし $x = y$ ならば、

$f(x, x, z) = x^3(x-z) + x^3(z-x) + z^3(x-x) = x^4 - x^3z + x^3z - x^4 + 0 = 0$

したがって、$(x - y)$は$f(x, y, z)$の因数です。同様に、$(y - z)$と$(z - x)$も$f(x, y, z)$の因数です。

$f(x, y, z)$は4次の同次式なので、残りの因数は1次の同次式です。

したがって、$f(x, y, z) = (x - y)(y - z)(z - x)(Ax + By + Cz)$ と書けます。ここでA, B, Cは定数です。

$f(x, y, z) = x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y) = (x - y)(y - z)(z - x) (-x - y - z)$が成り立つことを示すために、

$x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y) = -(x - y)(y - z)(z - x) (x+y+z)$となることを示す。

式を展開して確認します。

$-(x - y)(y - z)(z - x)(x + y + z)$

$= -(xy - xz - y^2 + yz)(z - x)(x+y+z)$

$= -(xy - xz - y^2 + yz)(xz + xy + x^2 - z^2 - zy - zx)$

$= -(xy - xz - y^2 + yz)(xy + x^2 - z^2 - zy)$

$= -(x^2y^2 + x^3y - xyz^2 - xy^2z - x^2yz - x^3z + xz^3 + xyz^2 - y^3z - y^3x + yz^3 + y^2z^2)$

$= -x^2y^2 - x^3y + xyz^2 + xy^2z + x^2yz + x^3z - xz^3 - xyz^2 + y^3z + y^3x - yz^3 - y^2z^2$

$= x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y)$となることを確認すると、正符号がとられている項と負符号が取られている項を整理していくことで示すことができます。

$A = B = C = -1$

3. 最終的な答え

$(x - y)(y - z)(z - x)(-x - y - z) = -(x - y)(y - z)(z - x)(x + y + z)$

最終的な答えは $-(x - y)(y - z)(z - x)(x + y + z)$ です。