与えられた行列の逆行列の(1,3)成分（1行3列目の要素）を求める問題です。与えられた行列は $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列の(1,3)成分（1行3列目の要素）を求める問題です。与えられた行列は

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

行列$A$の逆行列$A^{-1}$を求めます。逆行列を求めるには、掃き出し法を用いるのが一般的です。

$A$に単位行列を並べた拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

この拡大行列を行基本変形によって、左側が単位行列になるように変形します。具体的には、1行目から3行目の1倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

左側が単位行列になったので、右側が逆行列$A^{-1}$です。

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

求めるのは逆行列$A^{-1}$の(1,3)成分なので、-1です。

3. 最終的な答え

-1