分数の引き算を行います。与えられた式は $\frac{2x+5}{x^2-x-2} - \frac{x+10}{x^2-4}$ です。

はい、承知しました。画像にある問題のうち、以下の問題を解きます。

(5) $\frac{2x+5}{x^2-x-2} - \frac{x+10}{x^2-4}$

(6) $\frac{x-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$

(7) $\frac{1-\frac{1}{x+1}}{1+\frac{1}{x-1}}$

(8) $\frac{1+\frac{2}{x}}{x-\frac{4}{x}}$

**問題(5)**

1. 問題の内容

分数の引き算を行います。与えられた式は $\frac{2x+5}{x^2-x-2} - \frac{x+10}{x^2-4}$ です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分母を因数分解します。

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

次に、通分するために、それぞれの分数に適切な式を掛けます。

$\frac{2x+5}{(x-2)(x+1)} - \frac{x+10}{(x-2)(x+2)} = \frac{(2x+5)(x+2)}{(x-2)(x+1)(x+2)} - \frac{(x+10)(x+1)}{(x-2)(x+2)(x+1)}$

分子を展開します。

$(2x+5)(x+2) = 2x^2 + 4x + 5x + 10 = 2x^2 + 9x + 10$

$(x+10)(x+1) = x^2 + x + 10x + 10 = x^2 + 11x + 10$

引き算を行います。

$\frac{2x^2 + 9x + 10 - (x^2 + 11x + 10)}{(x-2)(x+1)(x+2)} = \frac{2x^2 + 9x + 10 - x^2 - 11x - 10}{(x-2)(x+1)(x+2)} = \frac{x^2 - 2x}{(x-2)(x+1)(x+2)}$

分子を因数分解します。

$x^2 - 2x = x(x-2)$

約分します。

$\frac{x(x-2)}{(x-2)(x+1)(x+2)} = \frac{x}{(x+1)(x+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{x}{(x+1)(x+2)}$

**問題(6)**

1. 問題の内容

繁分数の簡略化を行います。与えられた式は $\frac{x-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$ です。

2. 解き方の手順

分子と分母をそれぞれ簡略化します。

$x - \frac{1}{x} = \frac{x^2 - 1}{x}$

$1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}$

式を書き換えます。

$\frac{\frac{x^2 - 1}{x}}{\frac{x + 1}{x}} = \frac{x^2 - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1} = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$

分子を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

約分します。

$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = x - 1$

3. 最終的な答え

$x - 1$

**問題(7)**

1. 問題の内容

繁分数の簡略化を行います。与えられた式は $\frac{1-\frac{1}{x+1}}{1+\frac{1}{x-1}}$ です。

2. 解き方の手順

分子と分母をそれぞれ簡略化します。

$1 - \frac{1}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = \frac{x}{x+1}$

$1 + \frac{1}{x-1} = \frac{x-1+1}{x-1} = \frac{x}{x-1}$

式を書き換えます。

$\frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x}{x-1}} = \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x-1}{x} = \frac{x-1}{x+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{x-1}{x+1}$

**問題(8)**

1. 問題の内容

繁分数の簡略化を行います。与えられた式は $\frac{1+\frac{2}{x}}{x-\frac{4}{x}}$ です。

2. 解き方の手順

分子と分母をそれぞれ簡略化します。

$1 + \frac{2}{x} = \frac{x + 2}{x}$

$x - \frac{4}{x} = \frac{x^2 - 4}{x}$

式を書き換えます。

$\frac{\frac{x + 2}{x}}{\frac{x^2 - 4}{x}} = \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^2 - 4} = \frac{x + 2}{x^2 - 4}$

分母を因数分解します。

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

約分します。

$\frac{x + 2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{x - 2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x - 2}$