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与えられた式を計算して簡単にします。 $\frac{x+4}{x^2-2x} - \frac{3}{x^2-3x+2}$

代数学分数式の計算因数分解式の簡約化
2025/5/7
## (1)の問題

1. 問題の内容

与えられた式を計算して簡単にします。
x+4x2−2x−3x2−3x+2\frac{x+4}{x^2-2x} - \frac{3}{x^2-3x+2}

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。
x2−2x=x(x−2)x^2-2x = x(x-2)
x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)
与えられた式は次のようになります。
x+4x(x−2)−3(x−1)(x−2)\frac{x+4}{x(x-2)} - \frac{3}{(x-1)(x-2)}
次に、共通の分母を見つけます。それはx(x−1)(x−2)x(x-1)(x-2)です。
式を書き換えます。
(x+4)(x−1)x(x−1)(x−2)−3xx(x−1)(x−2)\frac{(x+4)(x-1)}{x(x-1)(x-2)} - \frac{3x}{x(x-1)(x-2)}
分母をまとめます。
(x+4)(x−1)−3xx(x−1)(x−2)\frac{(x+4)(x-1) - 3x}{x(x-1)(x-2)}
分子を展開し、簡略化します。
x2+3x−4−3xx(x−1)(x−2)=x2−4x(x−1)(x−2)=(x−2)(x+2)x(x−1)(x−2)\frac{x^2 + 3x - 4 - 3x}{x(x-1)(x-2)} = \frac{x^2 - 4}{x(x-1)(x-2)} = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x-1)(x-2)}
(x−2)(x-2)を約分します。
x+2x(x−1)\frac{x+2}{x(x-1)}

3. 最終的な答え

x+2x(x−1)\frac{x+2}{x(x-1)}
## (2)の問題

1. 問題の内容

与えられた式を計算して簡単にします。
1x+3+5x2+x−6\frac{1}{x+3} + \frac{5}{x^2+x-6}

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。
x2+x−6=(x+3)(x−2)x^2+x-6 = (x+3)(x-2)
与えられた式は次のようになります。
1x+3+5(x+3)(x−2)\frac{1}{x+3} + \frac{5}{(x+3)(x-2)}
次に、共通の分母を見つけます。それは(x+3)(x−2)(x+3)(x-2)です。
式を書き換えます。
x−2(x+3)(x−2)+5(x+3)(x−2)\frac{x-2}{(x+3)(x-2)} + \frac{5}{(x+3)(x-2)}
分母をまとめます。
x−2+5(x+3)(x−2)\frac{x-2+5}{(x+3)(x-2)}
分子を簡略化します。
x+3(x+3)(x−2)\frac{x+3}{(x+3)(x-2)}
(x+3)(x+3)を約分します。
1x−2\frac{1}{x-2}

3. 最終的な答え

1x−2\frac{1}{x-2}
## (3)の問題

1. 問題の内容

与えられた式を計算して簡単にします。
1x2−3x−10−13x2+5x−2\frac{1}{x^2-3x-10} - \frac{1}{3x^2+5x-2}

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。
x2−3x−10=(x−5)(x+2)x^2-3x-10 = (x-5)(x+2)
3x2+5x−2=(3x−1)(x+2)3x^2+5x-2 = (3x-1)(x+2)
与えられた式は次のようになります。
1(x−5)(x+2)−1(3x−1)(x+2)\frac{1}{(x-5)(x+2)} - \frac{1}{(3x-1)(x+2)}
次に、共通の分母を見つけます。それは(x−5)(x+2)(3x−1)(x-5)(x+2)(3x-1)です。
式を書き換えます。
3x−1(x−5)(x+2)(3x−1)−x−5(x−5)(x+2)(3x−1)\frac{3x-1}{(x-5)(x+2)(3x-1)} - \frac{x-5}{(x-5)(x+2)(3x-1)}
分母をまとめます。
3x−1−(x−5)(x−5)(x+2)(3x−1)\frac{3x-1 - (x-5)}{(x-5)(x+2)(3x-1)}
分子を展開し、簡略化します。
3x−1−x+5(x−5)(x+2)(3x−1)=2x+4(x−5)(x+2)(3x−1)=2(x+2)(x−5)(x+2)(3x−1)\frac{3x-1 - x+5}{(x-5)(x+2)(3x-1)} = \frac{2x+4}{(x-5)(x+2)(3x-1)} = \frac{2(x+2)}{(x-5)(x+2)(3x-1)}
(x+2)(x+2)を約分します。
2(x−5)(3x−1)\frac{2}{(x-5)(3x-1)}

3. 最終的な答え

2(x−5)(3x−1)\frac{2}{(x-5)(3x-1)}
## (4)の問題

1. 問題の内容

与えられた式を計算して簡単にします。
12x2−x−3−1x2−3x−4\frac{1}{2x^2-x-3} - \frac{1}{x^2-3x-4}

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。
2x2−x−3=(2x−3)(x+1)2x^2-x-3 = (2x-3)(x+1)
x2−3x−4=(x−4)(x+1)x^2-3x-4 = (x-4)(x+1)
与えられた式は次のようになります。
1(2x−3)(x+1)−1(x−4)(x+1)\frac{1}{(2x-3)(x+1)} - \frac{1}{(x-4)(x+1)}
次に、共通の分母を見つけます。それは(2x−3)(x+1)(x−4)(2x-3)(x+1)(x-4)です。
式を書き換えます。
x−4(2x−3)(x+1)(x−4)−2x−3(2x−3)(x+1)(x−4)\frac{x-4}{(2x-3)(x+1)(x-4)} - \frac{2x-3}{(2x-3)(x+1)(x-4)}
分母をまとめます。
x−4−(2x−3)(2x−3)(x+1)(x−4)\frac{x-4 - (2x-3)}{(2x-3)(x+1)(x-4)}
分子を展開し、簡略化します。
x−4−2x+3(2x−3)(x+1)(x−4)=−x−1(2x−3)(x+1)(x−4)=−(x+1)(2x−3)(x+1)(x−4)\frac{x-4 - 2x+3}{(2x-3)(x+1)(x-4)} = \frac{-x-1}{(2x-3)(x+1)(x-4)} = \frac{-(x+1)}{(2x-3)(x+1)(x-4)}
(x+1)(x+1)を約分します。
−1(2x−3)(x−4)\frac{-1}{(2x-3)(x-4)}

3. 最終的な答え

−1(2x−3)(x−4)\frac{-1}{(2x-3)(x-4)}
または
−12x2−11x+12\frac{-1}{2x^2-11x+12}

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