実数$a, b$を定数とする。整式$P(x) = x^3 + (a+3)x^2 + bx - 3a$があり、$P(1) = 4$を満たしている。 (1) $b$を$a$を用いて表し、このとき$P(-3)$の値を求めよ。 (2) $P(x)$を因数分解せよ。 (3) 方程式$P(x) = 0$が虚数解をもち、かつ、その虚数解の実部が整数であるとき、$a$の値と虚数解をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

実数$a, b$を定数とする。整式$P(x) = x^3 + (a+3)x^2 + bx - 3a$があり、$P(1) = 4$を満たしている。

(1) $b$を$a$を用いて表し、このとき$P(-3)$の値を求めよ。

(2) $P(x)$を因数分解せよ。

(3) 方程式$P(x) = 0$が虚数解をもち、かつ、その虚数解の実部が整数であるとき、$a$の値と虚数解をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $P(1) = 4$より、$1 + (a+3) + b - 3a = 4$。

$1 + a + 3 + b - 3a = 4$

$b - 2a + 4 = 4$

$b = 2a$

$P(x) = x^3 + (a+3)x^2 + 2ax - 3a$

$P(-3) = (-3)^3 + (a+3)(-3)^2 + 2a(-3) - 3a$

$= -27 + 9(a+3) - 6a - 3a$

$= -27 + 9a + 27 - 6a - 3a$

$= 0$

(2) $P(-3) = 0$より、$P(x)$は$(x+3)$を因数に持つ。

$P(x) = x^3 + (a+3)x^2 + 2ax - 3a$を$(x+3)$で割ると、

$x^3 + (a+3)x^2 + 2ax - 3a = (x+3)(x^2 + ax - a)$

(3) $P(x) = (x+3)(x^2 + ax - a) = 0$より、$x = -3$または$x^2 + ax - a = 0$

$x^2 + ax - a = 0$が虚数解を持つためには、判別式$D < 0$である必要がある。

$D = a^2 - 4(1)(-a) = a^2 + 4a < 0$

$a(a+4) < 0$

$-4 < a < 0$

$x^2 + ax - a = 0$の解は、$x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 + 4a}}{2}$

虚数解の実部は$\frac{-a}{2}$である。

この実部が整数であるので、$\frac{-a}{2} = n$ ($n$は整数)とおくと、$a = -2n$

$-4 < a < 0$なので、$-4 < -2n < 0$

$0 < 2n < 4$

$0 < n < 2$

$n = 1$

よって、$a = -2$

このとき、$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 + 4(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$

虚数解は$1 \pm i$

3. 最終的な答え

(1) $b = 2a$, $P(-3) = 0$

(2) $P(x) = (x+3)(x^2 + ax - a)$

(3) $a = -2$, 虚数解は$1 \pm i$