不等式 $2x^2 + 3y^2 \geq 4xy$ を証明し、等号が成り立つ条件を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $2x^2 + 3y^2 \geq 4xy$ を証明し、等号が成り立つ条件を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を変形します。

$2x^2 + 3y^2 \geq 4xy$

$2x^2 - 4xy + 3y^2 \geq 0$

次に、この式を平方完成させます。

$2(x^2 - 2xy) + 3y^2 \geq 0$

$2(x^2 - 2xy + y^2) - 2y^2 + 3y^2 \geq 0$

$2(x - y)^2 + y^2 \geq 0$

$2(x-y)^2$ は常に0以上であり、$y^2$も常に0以上です。したがって、$2(x - y)^2 + y^2 \geq 0$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$2(x - y)^2 = 0$ かつ $y^2 = 0$ のときです。

$y = 0$ であるから、$x - y = 0$ より $x = y = 0$となります。

3. 最終的な答え

不等式 $2x^2 + 3y^2 \geq 4xy$ は証明されました。等号が成り立つのは $x = y = 0$ のときです。