数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = n(n+1)$ で与えられている。 (1) $\frac{1}{a_k} = \frac{\boxed{ア}}{k} - \frac{\boxed{イ}}{k+1}$ が成り立つような $\boxed{ア}$ と $\boxed{イ}$ を求める。 (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} = \boxed{ウ} - \frac{\boxed{エ}}{n+\boxed{オ}}$ が成り立つような $\boxed{ウ}$、$\boxed{エ}$、$\boxed{オ}$ を求める。 (3) $\sum_{k=1}^{8} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{\boxed{カキ}}{\boxed{クケ}}$ を計算する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = n(n+1)$ で与えられている。

(1) $\frac{1}{a_k} = \frac{\boxed{ア}}{k} - \frac{\boxed{イ}}{k+1}$ が成り立つような $\boxed{ア}$ と $\boxed{イ}$ を求める。

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} = \boxed{ウ} - \frac{\boxed{エ}}{n+\boxed{オ}}$ が成り立つような $\boxed{ウ}$、$\boxed{エ}$、$\boxed{オ}$ を求める。

(3) $\sum_{k=1}^{8} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{\boxed{カキ}}{\boxed{クケ}}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{a_k} = \frac{1}{k(k+1)}$ を部分分数分解する。

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1}$ とおく。

$1 = A(k+1) + Bk = (A+B)k + A$

係数比較により、$A+B=0$ かつ $A=1$ なので、$A=1$, $B=-1$

よって、$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$。

$\boxed{ア}=1$, $\boxed{イ}=1$。

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$

$= \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$

$= 1 - \frac{1}{n+1}$

$= \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1}$

$= \frac{n}{n+1}$

$= 1 - \frac{1}{n+1}$ と変形できるので、$\boxed{ウ}=1$, $\boxed{エ}=1$, $\boxed{オ}=1$。

(3) $\sum_{k=1}^{8} \frac{1}{k(k+2)} = \sum_{k=1}^{8} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + \dots + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{10} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{3}{2} - \frac{19}{90} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{135}{90} - \frac{19}{90} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{116}{90} \right] = \frac{58}{90} = \frac{29}{45}$

$\boxed{カキ}=29$, $\boxed{クケ}=45$。

3. 最終的な答え

ア = 1

イ = 1

ウ = 1

エ = 1

オ = 1

カキ = 29

クケ = 45