多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $3$, $x+3$ で割ると余りが $-7$ である。$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $3$, $x+3$ で割ると余りが $-7$ である。$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの商を $Q(x)$ とすると、余りは2次式で割っているので1次式以下であるから、$ax+b$ とおける。

よって、

$P(x)=(x-2)(x+3)Q(x)+ax+b$

と表せる。

$x=2$ のとき、

$P(2)=3$

$x=-3$ のとき、

$P(-3)=-7$

であるから、

$P(2) = (2-2)(2+3)Q(2) + 2a+b = 2a+b = 3$

$P(-3) = (-3-2)(-3+3)Q(-3) -3a+b = -3a+b = -7$

連立方程式

$2a+b=3$

$-3a+b=-7$

を解く。上の式から下の式を引くと、

$5a = 10$

$a=2$

$b=3-2a=3-4=-1$

よって、余りは $2x-1$

3. 最終的な答え

$2x-1$