数列$\{a_n\}$の一般項が$a_n = n(n+1)$で与えられるとき、以下の値を求める問題です。 (1) $\frac{1}{a_k} = \frac{\text{ア}}{k} - \frac{\text{イ}}{k+1}$ を満たす ア, イ (2) $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} = \text{ウ} - \frac{\text{エ}}{n+\text{オ}}$ を満たす ウ, エ, オ (3) $\sum_{k=1}^8 \frac{1}{k(k+2)} = \frac{\text{カキ}}{\text{クケ}}$ を満たす カキ, クケ

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の一般項が$a_n = n(n+1)$で与えられるとき、以下の値を求める問題です。

(1) $\frac{1}{a_k} = \frac{\text{ア}}{k} - \frac{\text{イ}}{k+1}$ を満たす ア, イ

(2) $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} = \text{ウ} - \frac{\text{エ}}{n+\text{オ}}$ を満たす ウ, エ, オ

(3) $\sum_{k=1}^8 \frac{1}{k(k+2)} = \frac{\text{カキ}}{\text{クケ}}$ を満たす カキ, クケ

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{a_k} = \frac{1}{k(k+1)}$ を部分分数分解する。

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1}$ とおく。

$1 = A(k+1) + Bk$

$1 = (A+B)k + A$

したがって、$A+B = 0$ かつ $A=1$。よって、$A=1, B=-1$。

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

(2) (1)の結果を用いて、$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$ を計算する。

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$

$= 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

よって、$1 - \frac{1}{n+1}$ と表せる。

(3) $\frac{1}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}$ とおく。

$1 = A(k+2) + Bk$

$1 = (A+B)k + 2A$

したがって、$A+B=0$ かつ $2A=1$。よって、$A=\frac{1}{2}, B=-\frac{1}{2}$。

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$

$\sum_{k=1}^8 \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^8 \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{10} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{19}{90} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{135-19}{90} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{116}{90} \right) = \frac{58}{90} = \frac{29}{45}$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 1

ウ: 1

エ: 1

オ: 1

カキ: 29

クケ: 45