コインを3回投げて、表の出る回数に100をかけた金額がもらえるゲームがある。このゲームでもらえる金額の期待値を求める問題。

1. 問題の内容

コインを3回投げて、表の出る回数に100をかけた金額がもらえるゲームがある。このゲームでもらえる金額の期待値を求める問題。

2. 解き方の手順

コインを3回投げたとき、表が出る回数は0回、1回、2回、3回のいずれかである。それぞれの回数が出る確率を計算する。

* 3回とも裏が出る確率：$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

* 表が1回出る確率：${}_3 C_1 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^2 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

* 表が2回出る確率：${}_3 C_2 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^1 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

* 3回とも表が出る確率：$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

次に、それぞれの表の回数に対応する金額を計算する。

* 表が0回の場合：0円

* 表が1回の場合：100円

* 表が2回の場合：200円

* 表が3回の場合：300円

期待値は、それぞれの金額とその金額が得られる確率をかけたものの合計である。

期待値 = $0 \times \frac{1}{8} + 100 \times \frac{3}{8} + 200 \times \frac{3}{8} + 300 \times \frac{1}{8}$

期待値 = $0 + \frac{300}{8} + \frac{600}{8} + \frac{300}{8} = \frac{1200}{8} = 150$

3. 最終的な答え

150円