(1) $(x^2 + 1)^2$ を展開する。 (2) (1)の結果を利用して、$x^4 + x^2 + 1$ を因数分解する。

1. 問題の内容

(1) $(x^2 + 1)^2$ を展開する。

(2) (1)の結果を利用して、$x^4 + x^2 + 1$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) $(x^2 + 1)^2$ を展開します。これは、$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の公式を利用します。

$a = x^2$、 $b = 1$とすると、

$(x^2 + 1)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(1) + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

(2) (1)の結果を利用して、$x^4 + x^2 + 1$ を因数分解します。

$x^4 + x^2 + 1$ を $x^4 + 2x^2 + 1$ に近い形に変形します。

$x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$

(1)の結果を利用して、$x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2$ であるから、

$x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - x^2$

これは、$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ の形の差の二乗の公式を利用できます。

$a = x^2 + 1$、$b = x$ とすると、

$(x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x)$

通常、次数が高い順に並べるので、

$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 + 2x^2 + 1$

(2) $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$