円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ 上の点 P と点 A(4, 6) との距離の最大値と最小値を求めよ。また、点 P, A 間の距離が最小となるときの点 P の座標を求めよ。

1. 問題の内容

円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ 上の点 P と点 A(4, 6) との距離の最大値と最小値を求めよ。また、点 P, A 間の距離が最小となるときの点 P の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

円の中心を C とすると、C の座標は (1, 2) であり、円の半径は $r = \sqrt{9} = 3$ である。

点 A と円の中心 C の距離を d とする。

$d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

点 P と点 A の距離が最大となるのは、点 P が線分 AC 上にあり、点 A から見て円の中心 C を通り越した位置にあるときである。このときの距離は $d + r = 5 + 3 = 8$ である。

点 P と点 A の距離が最小となるのは、点 P が線分 AC 上にあり、点 A と円の中心 C の間にあるときである。このときの距離は $d - r = 5 - 3 = 2$ である。

点Pが線分AC上にあり、AとCの間にあるときに距離APが最小になる。

このとき、点Pは線分ACを3:2に内分する点である。

点Pの座標を(x,y)とすると、

$x = \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 4}{3 + 2} = \frac{3 + 8}{5} = \frac{11}{5}$

$y = \frac{3 \cdot 2 + 2 \cdot 6}{3 + 2} = \frac{6 + 12}{5} = \frac{18}{5}$

したがって、点Pの座標は $(\frac{11}{5}, \frac{18}{5})$ である。

3. 最終的な答え

最大値: 8

最小値: 2

点 P の座標: $(\frac{11}{5}, \frac{18}{5})$