平面上に異なる2点O, Aがあり, $OA = 6$である。動点Pは$|3\overrightarrow{OP} - 2\overrightarrow{OA}| = 6$を満たしている。このとき、Pが描く図形が円であることを示し、その半径を求めよ。

1. 問題の内容

平面上に異なる2点O, Aがあり, $OA = 6$である。動点Pは$|3\overrightarrow{OP} - 2\overrightarrow{OA}| = 6$を満たしている。このとき、Pが描く図形が円であることを示し、その半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形してPの位置ベクトルに関する情報を引き出す。

$|3\overrightarrow{OP} - 2\overrightarrow{OA}| = 6$ の両辺を3で割ると

$|\overrightarrow{OP} - \frac{2}{3}\overrightarrow{OA}| = 2$

ここで、$\frac{2}{3}\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB}$ となる点Bをとると、$OB = \frac{2}{3}OA = \frac{2}{3} \times 6 = 4$。

すると、

$|\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}| = 2$

$|\overrightarrow{BP}| = 2$

これは、点Pと点Bの距離が常に2であることを意味する。したがって、点Pは点Bを中心とする半径2の円を描く。

3. 最終的な答え

Pが描く図形は円であり、その半径は2である。