直方体 OADB-CEGF において、辺 DG の G を越える延長上に DG = GH となる点 H を取る。直線 OH と平面 ABC の交点を P とするとき、ベクトル $\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$、$\vec{OC} = \vec{c}$ を用いて $\vec{OP}$ を表す。

1. 問題の内容

直方体 OADB-CEGF において、辺 DG の G を越える延長上に DG = GH となる点 H を取る。直線 OH と平面 ABC の交点を P とするとき、ベクトル $\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$、$\vec{OC} = \vec{c}$ を用いて $\vec{OP}$ を表す。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OH}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表します。

$\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b}$ です。

$\vec{OG} = \vec{OD} + \vec{DC} = \vec{OD} + \vec{OC} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ です。

$\vec{DG} = \vec{OG} - \vec{OD} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{c}$ です。

DG = GH であるから、$\vec{GH} = \vec{DG} = \vec{c}$ です。

$\vec{OH} = \vec{OG} + \vec{GH} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}$ です。

次に、点 P が直線 OH 上にあるので、ある実数 $k$ を用いて、

$\vec{OP} = k\vec{OH} = k(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}) = k\vec{a} + k\vec{b} + 2k\vec{c}$ と表せます。

点 P が平面 ABC 上にあるので、ある実数 $s, t, u$ を用いて、

$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$、ただし $s + t + u = 1$ と表せます。

したがって、$k\vec{a} + k\vec{b} + 2k\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$ です。

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は一次独立なので、$k = s$, $k = t$, $2k = u$ が成り立ちます。

$s + t + u = 1$ に代入すると、$k + k + 2k = 1$ より、$4k = 1$、よって $k = \frac{1}{4}$ となります。

$\vec{OP} = k(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}) = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}) = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$