三角形OABにおいて、$OA=3$, $OB=2$, $AB=\sqrt{7}$とする。Oから直線ABに下ろした垂線の足をCとする。また、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とおく。 (1) 内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$の値を求めよ。 (2) $\vec{OC}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。 (3) 三角形OABの垂心をHとするとき、$\vec{OH}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$OA=3$, $OB=2$, $AB=\sqrt{7}$とする。Oから直線ABに下ろした垂線の足をCとする。また、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とおく。

(1) 内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$の値を求めよ。

(2) $\vec{OC}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。

(3) 三角形OABの垂心をHとするとき、$\vec{OH}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$の計算

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{OB} - \vec{OA}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2$

$AB^2 = |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2$

$(\sqrt{7})^2 = 2^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 3^2$

$7 = 4 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 9$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

(2) $\vec{OC}$の表現

点Cは直線AB上にあるので、実数$k$を用いて

$\vec{OC} = (1-k)\vec{a} + k\vec{b}$と表せる。

また、OCはABに垂直なので$\vec{OC} \cdot \vec{AB} = 0$

$\vec{OC} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$

$((1-k)\vec{a} + k\vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$

$(1-k)\vec{a} \cdot \vec{b} - (1-k)|\vec{a}|^2 + k|\vec{b}|^2 - k\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$(1-k)3 - (1-k)9 + k4 - k3 = 0$

$3 - 3k - 9 + 9k + 4k - 3k = 0$

$7k = 6$

$k = \frac{6}{7}$

したがって、

$\vec{OC} = (1 - \frac{6}{7})\vec{a} + \frac{6}{7}\vec{b}$

$\vec{OC} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{6}{7}\vec{b}$

(3) $\vec{OH}$の表現

三角形OABの垂心をHとする。点AからOBへの垂線の足をD、点BからOAへの垂線の足をEとする。

$\vec{OH} = s\vec{a} + t\vec{b}$とおく。

AHはOBと垂直であるから、$\vec{AH} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{OH} - \vec{OA} = \vec{OH} - \vec{a}$

$(s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$

$s\vec{a} \cdot \vec{b} + t|\vec{b}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$3s + 4t - 3 = 0$

BHはOAと垂直であるから、$\vec{BH} \cdot \vec{a} = 0$

$\vec{OH} - \vec{OB} = \vec{OH} - \vec{b}$

$(s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

$s|\vec{a}|^2 + t\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$9s + 3t - 3 = 0$

連立方程式を解く。

$3s + 4t = 3$

$9s + 3t = 3$

$9s + 12t = 9$

$9s + 3t = 3$

$9t = 6$

$t = \frac{2}{3}$

$3s + 4(\frac{2}{3}) = 3$

$3s + \frac{8}{3} = 3$

$3s = \frac{1}{3}$

$s = \frac{1}{9}$

$\vec{OH} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

(2) $\vec{OC} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{6}{7}\vec{b}$

(3) $\vec{OH} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$