図において、$\angle ABF = \angle FBD$、$\angle CAD = \angle DAG$ である。 (1) $EC$ の長さを求めよ。 (2) $CD$ の長さを求めよ。 (3) $AF:FD$ を求めよ。

1. 問題の内容

図において、$\angle ABF = \angle FBD$、$\angle CAD = \angle DAG$ である。

(1) $EC$ の長さを求めよ。

(2) $CD$ の長さを求めよ。

(3) $AF:FD$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\angle ABF = \angle FBD$ より、$BF$ は $\angle ABC$ の二等分線であるから、角の二等分線の性質より、

$AB:BC = AE:EC$

$9:6 = 3:EC$

$9 \cdot EC = 6 \cdot 3$

$9 \cdot EC = 18$

$EC = 2$

(2) $\angle CAD = \angle DAG$ より、$AD$ は $\angle CAG$ の二等分線であるから、角の二等分線の性質より、

$AC:CD = AG:GD$

また、$\angle CAD = \angle DAG$ なので、$AC:CD=AB:BD$。

$AC:CD = AB:BD$

$3:CD = 9:(6+CD)$

$3(6+CD) = 9CD$

$18+3CD=9CD$

$6CD = 18$

$CD = 3$

(3) $\angle ABF = \angle FBD$より、$BF$は$\angle ABC$の二等分線であるから、

$AF:FC = AB:BC = 9:6 = 3:2$

$AF:AC = 3:5$

$AF = \frac{3}{5}AC = \frac{3}{5} \cdot 3 = \frac{9}{5}$

$\angle CAD = \angle DAG$より、$AD$は$\angle CAG$の外角の二等分線であるから、

$AF:FD = AC:CD = 3:3 = 1:1$

3. 最終的な答え

(1) $EC = 2$

(2) $CD = 3$

(3) $AF:FD = 1:1$