## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(3) 円Oは直角三角形ABCの内接円であり、点P、Q、Rは接点である。AR = 2、BR = 6のとき、以下の問いに答える。

* ① 円Oの半径を求めよ。

* ② BCの長さを求めよ。

(4) 図において、PTが円の接線であるとき、$x$の値を求めよ。

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2. 解き方の手順

(3)

① 円Oの半径を求める。

三角形ABCは直角三角形なので、$\angle A = 90^\circ$である。

円Oは三角形ABCの内接円であるため、ARとAQ、BRとBP、CPとCQの長さはそれぞれ等しい。

したがって、AR = AQ = 2、BR = BP = 6となる。

円の半径を$r$とすると、四角形ARORは正方形になるので、AR = r = 2。

したがって、円Oの半径は2である。

② BCの長さを求める。

$BC = BP + PC$であり、$BP = 6$なので、PCを求める必要がある。

$AQ = AR = 2$より、$AC = AQ + QC = 2 + QC$。

$PC = QC$なので、$AC = 2 + PC$となる。

$AB = AR + BR = 2 + 6 = 8$である。

三角形ABCは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、

$AB^2 + AC^2 = BC^2$が成り立つ。

つまり、$8^2 + (2 + PC)^2 = (6 + PC)^2$

$64 + 4 + 4PC + PC^2 = 36 + 12PC + PC^2$

$68 + 4PC = 36 + 12PC$

$32 = 8PC$

$PC = 4$

したがって、$BC = BP + PC = 6 + 4 = 10$となる。

(4)

円の接線に関する性質より、$PT^2 = PA \cdot PB$が成り立つ。

したがって、$x^2 = 4 \cdot (4 + 5) = 4 \cdot 9 = 36$

$x = \sqrt{36} = 6$

$x > 0$より、$x = 6$

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3. 最終的な答え

(3)

* ① 円Oの半径: 2

* ② BCの長さ: 10

(4)

* xの値: 6