直方体OADB-CGFにおいて、辺DGのGを越える延長上にDG=GHとなるように点Hを取る。直線OHと平面ABCの交点をPとするとき、ベクトル$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$を用いて、ベクトル$\vec{OP}$を表す問題です。

1. 問題の内容

直方体OADB-CGFにおいて、辺DGのGを越える延長上にDG=GHとなるように点Hを取る。直線OHと平面ABCの交点をPとするとき、ベクトル$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$を用いて、ベクトル$\vec{OP}$を表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、点Hの位置ベクトル$\vec{OH}$を求めます。

$\vec{OH} = \vec{OG} + \vec{GH}$

$\vec{OG} = \vec{OA} + \vec{AD} + \vec{DG} = \vec{a} + \vec{OC} + \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

$\vec{GH} = \vec{DG} = \vec{OB} = \vec{b}$

したがって、

$\vec{OH} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{b} = \vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}$

次に、点Pは直線OH上にあるので、実数$k$を用いて

$\vec{OP} = k\vec{OH} = k(\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}) = k\vec{a} + 2k\vec{b} + k\vec{c}$

と表すことができます。

また、点Pは平面ABC上にあるので、実数$s$, $t$を用いて

$\vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$

と表すことができます。

$\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP} = \vec{a} + s(\vec{OB} - \vec{OA}) + t(\vec{OC} - \vec{OA}) = \vec{a} + s\vec{b} - s\vec{a} + t\vec{c} - t\vec{a} = (1-s-t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$

$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$は一次独立なので、

$k = 1 - s - t$

$2k = s$

$k = t$

が成り立ちます。

これらの式から$s$と$t$を消去します。

$k = 1 - 2k - k$

$4k = 1$

$k = \frac{1}{4}$

したがって、

$\vec{OP} = \frac{1}{4}(\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$