円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ 上の点Pと点A(4, 6)との距離について、最大値と最小値を求めよ。また、2点P, A間の距離が最小となるときの点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ 上の点Pと点A(4, 6)との距離について、最大値と最小値を求めよ。また、2点P, A間の距離が最小となるときの点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円の中心Cと点Aの座標を求める。

円の方程式 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ より、中心Cの座標は(1, 2)である。

点Aの座標は(4, 6)である。

次に、円の中心Cと点Aの距離を求める。

2点間の距離の公式より、

$CA = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

円の半径をrとすると、円の方程式より $r = \sqrt{9} = 3$ である。

点Pが円周上にあり、点Aとの距離が最大となるのは、点Pが線分CAを延長した先にあり、点Aとの距離が最小となるのは、点Pが線分CA上にあるときである。

最大値は、$CA + r = 5 + 3 = 8$

最小値は、$CA - r = 5 - 3 = 2$

点Pが線分CA上にあるとき、点Pは線分CAを $2:3$ に内分する点である。

点Pの座標を(x, y)とすると、内分点の公式より、

$x = \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 4}{2+3} = \frac{3 + 8}{5} = \frac{11}{5}$

$y = \frac{3 \cdot 2 + 2 \cdot 6}{2+3} = \frac{6 + 12}{5} = \frac{18}{5}$

したがって、点Pの座標は $(\frac{11}{5}, \frac{18}{5})$ である。

3. 最終的な答え

最大値: 8

最小値: 2

点Pの座標: $(\frac{11}{5}, \frac{18}{5})$