与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める問題です。 (1) $x^3 = (x-1)^3 + a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ (2) $\frac{3}{x^3 + 1} = \frac{a}{x+1} + \frac{bx+c}{x^2-x+1}$

1. 問題の内容

与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める問題です。

(1) $x^3 = (x-1)^3 + a(x-1)^2 + b(x-1) + c$

(2) $\frac{3}{x^3 + 1} = \frac{a}{x+1} + \frac{bx+c}{x^2-x+1}$

2. 解き方の手順

(1) の解き方：

右辺を展開して整理し、左辺の $x^3$ と係数を比較します。

$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

$x^3 = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c$

$x^3 = x^3 + (-3+a)x^2 + (3-2a+b)x + (-1+a-b+c)$

したがって、

$-3+a = 0$

$3-2a+b = 0$

$-1+a-b+c = 0$

これらの連立方程式を解きます。

(2) の解き方：

右辺を通分し、分子を比較します。

$\frac{3}{x^3+1} = \frac{a}{x+1} + \frac{bx+c}{x^2-x+1}$

$\frac{3}{x^3+1} = \frac{a(x^2-x+1) + (bx+c)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)}$

$\frac{3}{x^3+1} = \frac{a(x^2-x+1) + (bx^2+bx+cx+c)}{x^3+1}$

$\frac{3}{x^3+1} = \frac{(a+b)x^2 + (-a+b+c)x + (a+c)}{x^3+1}$

したがって、

$a+b = 0$

$-a+b+c = 0$

$a+c = 3$

これらの連立方程式を解きます。

3. 最終的な答え

(1) の答え：

$a=3$

$3 - 2(3) + b = 0 \implies b = 3$

$-1+3-3+c = 0 \implies c = 1$

$a=3, b=3, c=1$

(2) の答え：

$a+b=0 \implies b=-a$

$-a+b+c = 0 \implies -a - a + c = 0 \implies c=2a$

$a+c = 3 \implies a + 2a = 3 \implies 3a = 3 \implies a=1$

$a=1, b=-1, c=2$

$a=1, b=-1, c=2$