以下の4つの問題を解く： * 問題[3]: $x = \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$, $y = \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ のとき、$x+y$ と $xy$ の値を求める。 * 問題[4]: 不等式 $0.4 < 0.1x+1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ を解く。 * 問題[5]: 方程式 $|x+2| = 5$ を解く。 * 問題[6]: 実数 $m, n$ について、$mn=0$ であることは $m=0$ であるための何条件か。

## 大問1

1. 問題の内容

以下の4つの問題を解く：

* 問題[3]: $x = \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$, $y = \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ のとき、$x+y$ と $xy$ の値を求める。

* 問題[4]: 不等式 $0.4 < 0.1x+1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ を解く。

* 問題[5]: 方程式 $|x+2| = 5$ を解く。

* 問題[6]: 実数 $m, n$ について、$mn=0$ であることは $m=0$ であるための何条件か。

2. 解き方の手順

* 問題[3]:

* $x+y$ を計算する。分母を有理化してから計算すると良い。

$x + y = \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3}) + 2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})} = \frac{4\sqrt{2}}{2-3} = -4\sqrt{2}$

* $xy$ を計算する。

$xy = \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{4}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})} = \frac{4}{2-3} = -4$

* 問題[4]:

* 不等式を $0.4 < 0.1x+1$ と $0.1x+1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ に分けて解く。

* $0.4 < 0.1x+1$ を解く。

$0.4 < 0.1x + 1$

$-0.6 < 0.1x$

$-6 < x$

$x > -6$

* $0.1x+1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ を解く。

$0.1x+1 < \frac{x}{2} + 1.4$

$0.1x - 0.5x < 1.4 - 1$

$-0.4x < 0.4$

$x > -1$

* $x > -6$ と $x > -1$ の共通範囲を求める。

$x > -1$

* 問題[5]:

* 絶対値記号を外して、$x+2 = 5$ または $x+2 = -5$ を解く。

* $x+2 = 5$ より、 $x = 3$

* $x+2 = -5$ より、$x = -7$

* 問題[6]:

* $mn=0$ ならば $m=0$ または $n=0$ であり、$m=0$ ならば $mn=0$ である。したがって、必要十分条件である。

3. 最終的な答え

* 問題[3]: $x+y = -4\sqrt{2}$, $xy = -4$

* 問題[4]: $x > -1$

* 問題[5]: $x = -7, 3$

* 問題[6]: 1